RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUBS

marquer que pour a?=l,3 on a yî=0,097 , à partir de cette valeur les différences relatives à un accroissement de x égal à 0,1 sont, comme on le voit par le tableau précédent,

y=0,097, Ay=— 0,153, A*y55:0,084, A»y=(),006,

Si nous voulons en déduire les valeurs des différences rela* tives à un accroissement de a: égal à 0,01 , nous trouverons au moyen des formules données plus haut :

«•?(^o) = Trfcïï X A»(p(a?g) = 0,000 006, J«(p(a:o) = 0,000 006 + lin X 0,078,

et comme on a d'ailleurs pour a:= 1,3

on peut former le tableau suivant :

àhl

àfy

id.

On calculera au moyen des mêmes formules les valeurs de Ay , A*y , ^y qui correspondent h des accroissements de x égaux à 0,01 à partir de la valeur a? = 1,6, et Ton formera le tableau suivant :

RÉSOLUTION DSS ÉQUATIONS NUMÉBIQUBS.

0,000006 id.

id.

Id.

id.

On voit, d'après ces tableaux, que les deux racines sont comprises, l'une entre 1,69 et 1,70, l'autre entre 1,35 et 1,36. Pour calculer la plus grande à un millième près , il faut substituer, entre 1,69 et 1,70, des valeurs distantes d'un millième. Ces valeurs calculées par le même procédé que les précédeiifes , résultent du tableau suivant ;

id.

Id.

id.

Id.

id.

On voit que y change de signe lorsque x passe de la valeur 1,692 à 1,693. La racine est donc, à un millième près, égale à 1,692.

542.^ Les tableaux précédents permettent de pousser Fapproximation plus loin encore.

Remarquons, en effets que dans le dernier de ces tableaux la

RÉSOLUTION DËë ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 381

différence seconde est extrêmement petile. On peut donc , sans erreur sensible , la considérer comme nulle , et admettre , par suite, que les accroissements de y soient proportionnels à ceux de X. Mous pourrons alors obtenir la valeur de œ pour laquelle y est nul , en procédant comme on le fait dans l'emploi des tables de logarithmes. Nous dirons :

Lorsque x augmente de 0,G01 et passe de la valeur 1,692 à la valeur 1,693, la variation de y, csl 0,001593669.

Pour que la variation de y soit 0,000034112, c'est-à-dire pour . que y devienne zéro, il faut donc que la variation B de x satisfasse à la proportion

0,001 : a :: o,ooi593669 : o,oooo34ii2 ,

d'où l'on déduit

en sorte qiie la racine est égale, approximalivement, à 1 ,6920214.

On doit observer que la différence seconde que nous avons considérée comme nulle étant, en réalité, un peu plus grande que 0,00001 , peut influer sur le huitième des chiflres décimaux , et il n'y a , par conséquent , aucune raison pour considérer le septième comme exact.

On doit donc considérer la racine conmie égale à 1,692021.

345. Dans l'exemple précède»! , la détermination des intervalles dans lesquels il convenait d'effectuer de nouvelles substitutions n'a présenté aucune difficulté. Malheureusement il n'en est pas toujours ainsi. Nous en citerons un exemple.

Soit réquation

Si nous substituons à x les valeurs — 1 ,0,1, nous trouvons pour valeurs correspondantes de y, —49,001, 0,001, 0,0999, dont les différences sont 49, 1 , et ia différence seconde — 48. Quant à la différence troisième elle est (326) égale à 54.

Nous pouvons, d'après cela, former le tableau suivant :

RiSOLUTlOiN 0£S SQDÀTIONS NUMÉaiQOBS.

et si l'on représente ces valeurs graphiquement, ainsi qu*on Ta indiqué (556), t)n voit clairement qu'il existe une racine entre a?=:0 et âî=l, mais rien ne fait pressentir qu'il y en ait d'autres et ne porte à essayer de nouvelles substitutions. Si cependant, on substitue les valeurs distantes de 0,1 entre x=^\ et x=z% on trouve que les valeurs des différences relatives à a: = 1 et à un accroissement de x égal à 0,1 sont Ay= — 0,461, A*y=:0,114, A'y=0,054, ce qui permet de former le tableau suivant :

0,054 id.

id.

En représentant graphiquement les résultats qui y sont contenus, l'on voit clairement que la courbe qui passe par les points obtenus, ne peut couper la ligne des x qu'entre le point 1,3 et le point 1,4. Substituons donc entre ces deux valeurs, des valeurs de x distantes de 0,01; ces valeurs se calculeront comme les précédentes en formant d'abord, par les formu les (559), les valeurs de Ay, A^ et A'y qui correspondent à 07 = 1 ,3, et à des accroissements de la variable égau^t à 0,01 : nous formerons ainsi le tableau suivant :

HBSOLOTION DKS iQOATIONS MUHÉK1Q0I8.

id.

qui prouve que l'une des racines est comprise entre 1,32 et 1,33, l'autre entre 1,34 et 1,35.

Méthode de Newton.

544. Lorsque Ton considère une fonction dans un intervalle très- peu considérable, on peut presque toujours, sans erreur sensible, regarder les accroissements comme proportionnels à ceux de la variable et les représenter par le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissement même de la variable. L'erreur coinmise dans cette substitution sera d'autant moindre que Ton prend des accroissements plus petits. Cette remarque s'applique à toutes les fonctions, mais nous la développerons seulement ici sur les fondions algébriques entières pour s'appliquer à la résolution des équations considérées dans ce chapitre.

Soient

une équation algébrique, et a une valeur approchée d'ime racine dont nous désignerons par a-}- A la valeur exacte, on aura évidemment

384 EÉSOLUTION DIS iQUÀTIONS NUMÉRIQUIS.

et en négligeant les termes qui contiennent h à une puissance plus élevée que la première» on a, avec une approximation d'autant plus grande que h est plus petit,

en sorte que l'équation [3] devient

et Ton en déduit A=— |i^! ;

la valeur approchée de la racine est, par ovuséqueni,

en désignant celte valeur par b , et appliquant de nouveau le même procédé, on trouvera une valeur plus approchée encore

et en répétant cette opération plusieurs fois de suite, on obtiendra rapidement une très-grande approximation ; il est impossible d'indiquer d'une manière générale, et indépendamment de tout exemple particulier, la rapidité avec laquelle croissent les approximations, mais, dans chaque cas, on s'eniorme faci« lement une idée en procédant, comme nous allons le faire, dans Texemple suivant. '