Reprenons l'équation
¥ix) = x^ — 7x''-\-7=0;
nous avons trouvé que Tune de ses racines est, à j^rrr près,
égale à 1,692; si nous la désignons par 1,6924- A, h sera plus petit que 0,001, et nous aurons
par suite
F(£) Vr(£) h* F'jx).
F\x) l.iF'ix) 1.2,3 F' («)'
atSOLUTlON DBS ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 385
pour 0?= 1,692, les coefflcienls de A* et de A* sont, Tun plus petit que 3,2 , l'autre moindre que Tunité , en sorte que le second et le troisième terme du second membre sont moindres, Tun que 0,000003, Taulre que 0,000000001, nous avons donc, à un millionième près^
on a, d'après le tableau (541), pour x=t^0&2^
F(x)=:— 0,000034112; d'ailleurs F' (a?) = 3a:* — 7 = + 1 ,588592 ;
Mais, d'après le résultat que nous venons d'obtenir, la valeur a? =1,692 était exacte, non-seulement jusqu'à tqqq» mais
encore à ^^^ près ; de plus , d'après le même résultat pour
. x=l ,6920 , l'erreur A est moindre que . -^ ; donc , le nombre
obtepu est exact à moins de ttjs) ot la valeur de o; est à 8 décimales,
Nous avons donc une nouvelle valeur approchée de la racine
représentons sa valeur exacte par
nous aurons
.. , , , F 6 A" ¥"b A" rb .
dou h=-^^-j.^^-^^,
A'* étant moindre quc-r^ûëCt son coefflcienl que 3,2; de plus>.A'*
386 aisoLirriON dis tQUÀTions numèeiquis.
étant plus petit que ^, et son coefficient étaot moindre que
Tunilé ; si Ton prend
Terreur commise sera de Tordre j^. Cet exemple suffit pour
donner une idée de la rapidité des approximations « et pour montrer comment on doit l'apprécier dans chaque cas.
Ex£uple1I. Soit donnée Téquation La première dérivée sera
et, par suite, le terme de correction sera
Première APPROxnCAtiox. On trouve immédiatement que la racine réelle de Téquation est comprise entre 2,1 et 2,2.
Posons donc a?=2,l , et partons de cette valeur pour trouver la racine x avec plus d'exactitude. En remplaçant x par 2,1 , dans les fonctions V{x) et V'i^), nous aurons
Vx= 0,061 et ra:= 11,23;
donc A=-J^ = - 0,0543
Deuxième apihiioximation. Partant de cette nouvelle valeur approchée de la racine , nous aurons d'abord
a?i^ 2,095, ^j« = 4,389, Xi ^^y,iyoî
donc Fa:i = 0,005 et F'a?i= 11,167;
*'=-iw=-''^''«
et iPi = a?i + Al = 2,094 662.
L'erreur h étant moindre que -^ ; de plus, les coefficients de A* et If étant le premier environ - , le second — , il s'ensuit que l'erreur de a?i sera plus petite que j^.
Troisième approximation. Posons maintenant a? =2,094 662;
comme Terreur de x% est moindre que t^ , et que de plus les
coefficients de Ai' et de Ai' , restent à très-peu près les mêmes ,
nous pourrons compter sur une approximation de tjt^.
On a d'abord
xf= 4,387148 080704,
xf= 9,189109 786734; donc Fa:»= 0,000005 786734
et F':r, = 11,161444 242112,
ce qui donne
Yx, 0,000005 786734 __ onnnnoft 'iifti'ift *«=-F5; = -" 11,161444.,. -—0.000000 618468
et AT, =A7i+ Al =2,094551 481542,
exacte à moins de j^.
Quatrième approximation. Pour pousser encore plus loin l'approximation de la racine , posons
(r,ss2,0945ôl 481642,
nous aurons, pour les puissances de Xt^
et xJ^=9,lS9l02 963080 354769 507339,
et, par conséquent,
et F'(arO =11,161437 726489 3616....
Donc, la valeur de At sera
ra?8 . 0,0.-3 645230 492661 ^'~ F^s"""*" 11.161437 826489 36...'
ou At = + 0,000000 000000 326591 482386 ;
mais Xk=Xz'\-ht;
donc ^4 = 2,094551 481542 326591 482386,
valeur exactd^à moins de -T^; un nouveau calcul donnerait la
racine à moins de Y^if
Représentation graphique de la méthode de Newton.
546. La méthode d'approximation que nous venons d'exposer, peut se représenter graphiquement d'une manière trèssimple, que nous croyons devoir indiquer ici quoiqu'elle exige des notions de géométrie analytique.
La recherche des racines réelles de l'équation
revient à celle des points où la courbe qui a pour équation yz=zf{x\ coupe Taxe des x. En désignant par a une valeur approchée de la racine, et par fia) la valeur .correspondante de y, 1 équation de la tangente à la courbe
au point dont les coordonnées sont a et f{a)j est
RÂSOLUTION DES iQUATIONS NUMiRIQUKS. 389
Cette tangente coupe Taxe des x en un point dont Tabscisse x est évidemment
Ra)'
c'est-à-dire précisément égale à la valeur fournie par la méthode de Newton.
D'après cela, la méthode de Newton équivaut à la construction suivante:
Ayant la position approchée, P, du point où une courbe coupe Taxe des x, pour en obtenir une autre plus approdiée encore , on mène au point M de la courbe qui se projette en P, une tangente MT, et le point T est, en général^ beaucoup plus près que P de rinterseclion cherchée. En répétant la même construction, on obtiendra un nouveau point T' encore plus rapproché que le précédent, et ainsi de suite.
Celte représentation géométrique de la méthode de Newton , permet souvent de procéder avec plus de sécurité en renfermant à chaque opération les racines entre deux limites qui se rapprochent de plus en plus. Supposons , en effet , que Ton ait trouvé deux nombres A et B qui comprennent une racine , et que ces nombres soient représentés par les abscisses OP, OQ, auxquelles correspondent les points M et N de la conrbe.
La méthode de Newton donne pour valeur approchée de la ra-
390 RÉflOLUnON DBS iQUÀTIOIfS NUMilUQUIS.
cme> Tabscisse OT du point T; d'un autre côté» on voit sans peine que la méthode des parties proportionnelles (54S) donnerait pour valeur approchée a;=OK; k désignant le-point où l'axe des X est coupé par la corde HIV. La racine est comprise entre ces deux valeurs approchées, et Terreur commise est moindre que leur différence.
Ce raisonnement « suppose que la courbe n'ait pas d'in* flexions entre les points M et N , et que , par suite {Géùmétrie analftique) , la seconde dérivée f'^(x)^ ne s'annule pas dans cet intervalle.
RÊSUBIÉ.
35^. Opérationns préliminaires à exécuter quand on veut résoudre une équation numérique. — 556. Substitution des nombres entiers. — 557. Substitution des nombres qui diffèrent de^ dans les intervalles où Ton suppose qu*il existe des racines. — 558. Théorème qui limite les irrégularités que peut présenter la courbe dont on fait usage. — 559. Simplification des calculs quand Téquation est du 3* degré. —
540. Applioation à un exemple. Calcul des racines, à 0,4 près. —
541. Calcul à 0,04 près. — 542. Calcul de la racine au moyen d'une proportion analogue à celle dont on fait usage dans la théorie des logarithmes. — 545. Exemple d'une équation à laquelle les règles précédentes s'appliquent mal. — 544. Méthode de Newton. — 543. Application à deux exemples. — 546. Beprésentation graphique de la méthode. Cas dans lesquels on peut avoir deux limites de la racine.
