L'énoncé des résultats précédents se simplifie si Ton

MULTIPLICATION ALGÉBRIQUB. 19

considère, ainsi que nous Favons déjà fait (7), les termes qui sont précédés du signe — , comme des nombres négatifs ajoutés aux termes précédents, et en adoptant, en outre, les définitions suivantes :

Le produit d'un nombre négatif — a par un nombre positif

ft, est — (aX&).

Le produit de deux nombres négatifs — a et — b est aXb.

D'après ces conventions , la règle de multiplication peut s'énoncer en disant : le produit de deux polynômes s'obtient en multipliant tous les termes du multiplicande par tous ceux du multiplicateur ^ et ajoutant les résultats obtenus.

Soit , par exemple , à multiplier

par c— d,

le produit est (i7),

ac — bc — ad+M,

ou, d'après nos conventions ,

ce qui est bien la somme des produits obtenus en multipliant les termes a et — 6 du multiplicande par les termes c et — d du multiplicateur.

19. Remarque I. II n'y a pas lieu de chercher à démontrer les formules

(-a) (6) =— aé, (a)(-6)=a6,

elles expriment des définitions. Ces définitions permettent de renfermer sous un seul énoncé , les différents cas qu'il fallait distinguer, dans la règle de multiplication des polynômes.

sot RiMARQUE n. On a vu (17) que

[1] (A— B)(M— P)=AM— AP— BM+BP.

La démonstration supposait que A et M fussent respectivement plus grands que B et P ; les conventions que nous venons de faire rendent cette formide vraie, dans tous les caSé

20 MULTIPLICATION ALGÉBRIQUB.

Supposons , en effet , que Tun des facteurs soit négatif; que Ton ait, par exemple :

A— B étant négatif et égal (10) à — ( B — A ), on a, d'après nos conventions,

(A--B)(M— P)=-(B-A)(M— P)=-(BM-BP— AM+AP)

= -BM-fBP + AM— AP,

ce qui coïncide, à l*ordre des termes près, avec la formule [1]. Supposons maintenant que les deux différences A--B et M— P i^oient négatives; leur produit sera (18) le même que si elles étaient prises positivement, et Ton aura

(A — B)(M-.P) = (B-A)(P— M)=BP — BM — AP+AM,

ce qui est encore conforme à la formule [l].

îii. Remarque III. Nous représenterons dorénayant un polynôme quelconque , de quelques signes que soient ses termes , par une expression de la forme

tty b, c^ py q, r désignant des nombres positifs ou négatifs.

Exemple. La formule

qui résulte immédiatement de la règle de multiplication, est \raie, par cela même, quels que soient les signes des quantités désignées par a et b. On peut donc supposer que b y représente un nombre négatif— b'. Cette formule devient alors

{a—b')*=a^+2a{'-'b') + {—by=a*—2ab'-\-b'K

Les formules qui donnent le carré d'une somme et celui d*une différence se trouvent ainsi ramenées à une seule.