MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE

expriment des conventions faites en supposant que a et 6 soient des nombres positifs ; mais il est facile de voir que , p«ir suite des mêmes conventions , ces formules ne cessent pas d*ayoir lieu lors même que a et 6 désignent des nombres négatifs.

La première formule peut, en effet, s'énoncer de la manière suivante :

Siy dans un produit^ on change le signe de l'un des facteurs^ le produit change de signe sans changer de valeur.

Et la seconde formule peut s'énoncer en disant :

Si, dans un produit j on change les signes des deux facteurs^ le produit ne change ni de signe ni de valeur.

Or, nos conventions rendent ces deux propositions évi*^ dentés.

fis. Rkmarqub y. Lorsque, dans un produit de plusieurs facteurs, quelques-uns sont négatifs, le produit se définit comme en arithmétique : c'est le résultat obtenu en multipliant le premier facteur par le second ; puis le produit effectué par le troisième facteur ; puis le résultat par le quatrième, et ainsi de suite. Il suit de là que le produit aura même va-* leur absolue que si tous les facteurs étaient regardés comme positifs. Il sera précédé du signe -f 9 si le nombre des facteurs négatifs est pair , et du signe — s*il est impair : pour le démontrer, remarquons que Ton peut toujours introduire -j- 1 comme premier facteur. Dans les multiplications successives que l'on aura à effectuer pour former le produit, le signe qui, d'après cela, est d*abord -f» changera autant de fois qu'il y a de facteurs négatifs; or il est évident qu'il redeviendra -j- si le nombre des changements est pair, et — dans le cas contraire;

Il résulte évidemment de ce qui précède, que les puissances paires d'un nombre négatif sont positives, et les puissances impaires négatives.

fi4. Si l'on nomme quotient de deux nombres A et B , un troisième nombre qui, multiplié par le diviseur B reproduise le dividende A, il résulte évidemment des conventions précédentes que la valeur absolue du quotient de deux nombres ne dépend pas de leurs signes, et que ce quotient est positif si \% dividende et le diviseur ont le même signe, et négatif dans le cas contraire.

22 MULTIPLICATION ALG^BRIOUB.

Mulliplication d'un nombre quelconque de polynomei .

28. Pour faire le produit d'un nombre quelconque de polynômes, il faut d'abord multiplier le premier par le second , puis le résultat par le troisième, et ainsi de suite. Le produit effectué de deux polynômes étant toujours un polynôme, il suffira, quel que soit le nombre des facteurs, de savoir multiplier deux polynômes l'un par l'autre.

Soient Pi, Pt, Ps, P4 les différents polynômes dont on veut former le produit; en multipliant Pi par Pt, on obtiendra un produit Qi dont les termes sont (18) les produits de tous les termes de Pi par tous ceux de Pi ; on multipliera Q i par Pj » et on obtiendra un produit Qi, qui sera la somme des produits de tous les termes de Qi par tous ceux de Ps; c'est-à-dire, la somme de tous les produits de trois facteurs obtenus, en prenant un facteur parmi les termes de Pi , un parmi les termes de Ps et un enfin parmi les termes de Ps. Qt sera ensuite multiplié par P*. Le résultat Qs de cette multiplication sera la somme des produits des termes de Qî par ceux de P4 ; c'està-dire, de tous les produits de quatre facteurs pris respectivement dans les polynômes Pi , Pj , Ps , P4 . On pourra continuer indéfiniment le raisonnement, et l'on verra que le produit des polynômes Pi, P2, Ps, ... Pn, «5^ la somme de tous les produits de n facteurs formés avec un terme de Pi , un terme de Pi , un terme de P3, ... et un terme de Pn.

Produit de deux polynômes ordonnés par rapport à une lettre.

26. On dit qu'un polynôme est ordonné par rapport à une lettre, lorsque les termes sont placés dans l'ordre de grandeur des exposants de cette lettre; de telle sorte qu'en les considérant depuis le premier jusqu'au dernier les exposants aillent tous en diminuant ou tous en augmentant.

Exemple . Soc!^-\-3x''-\-%x^—x — l

est un polynôme ordonné par rapport à x.

Remarque I. Si la lettre par rapport à laquelle on ordonne

MULTIPLICATION ALGIbEIQUX. 23

entrait dans plusieurs ternies avec le même eiposant, on réunirait ces termes en un seul et on regarderait cette 'puissance de la lettre ordonnatrice comme ayant pour coefficient la somme des facteurs qui la multiplient dans ces différents termes.

ExsMPii. Pour ordonner le polynôme par rapport à a, on récrira de la manière suivante :

Rbmarque II. L*exposant de la lettre ordonnatrice dans un terme se nomme le degré de ce terme. Le degré d*un polynôme est celui du terme du plus haut degré qu'il contienne.

Il n'y a rien à changer h la règle de multiplication lorsqu'on veut l'appliquer à deux polynômes ordonnés suivant les puissances d'une lettre. Nous placerons seulement ici une remarque relative à la forme du résultat.

Lorsque le produit sera formé, on pourra diminuer le nombre de ses termes, en réunissant ceux qui sont semblables (4) ; mais on peut montrer, et cette remarque est très-importante, que deux termes au moins du produit subsisteront sans réduction. Ces deux termes sont, le produit du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur, et le produit du dernier terme du multiplicande par le dernier terme du multiplicateur.^

Il est évident, en effet, que le premier de ces produits contiendra la lettre ordonnatrice à une puissance plus élevée, et le second à une puissance moins élevée que tous les autres. Ils ne pourront donc pas se réduire avec eux, tant que la lettre ordonnatrice restera indéterminée.

Exemple. Si on multiplie

par a?— 1,

le terme a^ et le terme — 1 qui proviennent de la multiplication des premiers termes entre eux, et des derniers termes entre

24 MULTIPLICATION ÀLGiBRIQUB.

eux, ne se réduiront avec aucun autre. Si on effectue le produit, on voit qu'il se réduit à ces deux seuls termes, les autres se détruisant deux à deux.

27. Le produit de deux polynômes est, d'après ce qui précède, composé de deux termes au moins. Si les polynômes contiennent plusieurs lettres, on pourra les ordonner successivement par rapport à chacune d'elles, et en appliquant la remarque précédente on obtiendra un certain nombre de termes qui devront subsister sans réduction dans le produit. Si, par exemple, on multiplie les deux polynômes suivants, ordonnés par rapport à a

Les termes a*Xa% 6*Xa6* devront subsister sans réduction dans le produit. Si l'on ordonne les mêmes polynômes par rapport à 6, les premiers termes sont aW et a'6^ et les derniers o* et o*; les deux termes aWxaW el a^Xo* devront donc subsister sans réduction dans le résultai. Le terme a*Xa* se présente, comme on voit , de deux manières différentes, et nous avons seulement trois termes distincts qui, dans le résultat, ne peuvent éprouver aucune réduction .

RÉSUMÉ

15. On rappelle deux théorèmes démontrés en arithmétique : \° Pour multiplier deux produits Tun par l'autre, il suffit de former un produit unique avec les facteurs qui entrent dans chacun d'eux; 2"* Dans ce produit unique on peut remplacer deux ou plusieurs facteurs par leur produit efiFectué. — Règle de multiplication des monômes. — 14. Ce qui précède permet de multiplier un nombre quelconque de monômes. — i6. Multiplication d'un polynôme par un monôme. — 16. Multiplication de deux polynômes à termes positifs. — 17. Cas où les polynômes contiennent des termes précédés du signe — . — 18. Expression plus simple des résultats précédents, en regardant les termes précédés du signe — comme des nombres négatifs ajoutés aux termes qui précèdent, et en adoptant des conventions convenables sur le produit de deux nombres négatifs ou d'un nombre négatif par un nombre positif. — 19. Il n'y a pas lieu de chercher à démontrer les conventions relatives au produit des nombres négatifs;

MULTIPLICATION ÂLGÉBBIQUB. 25

ces conveutions sont arbitraires : il y a seulement un avantage de simplicité à adopter celles que nous avons choisies. — 20. Ces conventions ont en outre l'avantage d'étendre la formule de multiplication de deux polynômes au cas où Tensemble des termes négatifs l'emporte sur celui des termes positifs. — 21 . Quels que soient les termes d'un polynôme, on peut le considérer comme une somme de termes dont quelques-uns sont négatifs ; on peut de cette manière réduire à une seule les deux formules qui donnent le carré d'une somme et le carré d'une différence. — 22. Les formules ah = (—a) (- 6), a(— 6)= — ab, sont vraies, quels que soient les signes des nombres représentés par a et 6. ^ 23. Remarque sur le signe d'un produit de plusieurs facteurs. — 24. Définition de la division quand le dividende et le diviseur ne sont pas tous deux positifs. — 25. Multiplication d'un nombre quelconque de polynômes ; le produit est la somme des produits que l'on peut faire en prenant pour facteur un terme de chaque polynôme. — 26. Ce qu'on entend par polynôme ordonné par rapport à une lettre. La règle de multiplication est ht même , seulement il y a souvent réduction entre des termes semblables ; mais on remarque que deux termes au moins du produit ne peuvent se réduire. — 27. Quand les polynômes contiennent plusieurs lettres, la règle précédente fait quelquefois connattre plus de deux termes du produit qui ne peuvent se réduire.

EXERCICES

I. Le carré d'un polynôme est égal à la somme des carrés des termes, plus deux fois la somme de leurs produits deux à deux.

II. Le cube d'un polynôme est égal à la somme des cubes des termes, plus trois fois la somme des produits de Tun des termes par le carré d'un autre, plus six fois la somme des produits des termes trois à trois.

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