Soit la fraction rationnelle

F(xy

où f(x) désigne un polynôme en x de degré moindre que ¥{x). Soient a, 6, c, ..., A, / les racines de Téquation

Nous supposerons d'abord qu'elles soient toutes inégales. Nous allons voir que , dans ce cas , on peut toujours mettre la fraction [1] sous la forme

A, B, C, ..., K, L désignant des constantes. Pour le démontrer, nous considérerons A, B, C, •/. K, L comme des coefficients in-

DiGOMPOSmON DKS FRACTIONS RATIONNELLES. 421

déterminés dont nous déterminerons la valeur; puis nous vérifierons ensuite qu'ils rendent l'équation [2] identique.

L'équation [2] si on multiplie les deux membres par F(â?), devient

[3] ;r(^) = MËi+BF(4+... + M(^UM^. LJ 1^ ' X — o'a? — 6' 'a? — ^'a? — /

Comme l'équation [3] doit être identique, il faut qu'elle soit satisfaite pour les valeurs a? = a, â?=6, ..., 0? = /. Si l'on fait, par exemple, â?=a, et que l'on remarque que F(a) étant égal à zéro, tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui qui est divisé par x — a , on a

en désignant par L la valeur que prend le quotient

quand on y fait a; := a. Or on a

¥{x) = F[a + (a; - a)l = F(a) + F'(a)(a: - a) + F (a/-^--|^ , jF-(o) , ,^

en remarquant que F(a)=0, on en conclut

et , en faisant â; = a , tous les termes du second membre disparaissent , à l'exception du premier ; en sorte que

et, par suite, l'équation [3] devient

/•(a) = AF(a),

d'où l'on conclut A = M.

On trouvera de mèoie

n^fià) ç.f{c) .m

Pour déterminer les valeurs précédentes , nous avons commencé |iar admettre la possibilité dn développemaat [2] et de réquation [3], qui en est une conséquence. Il est donc nécessaire de démontrer que ces valeurs, qui évidemment sont les seules posnbles, satisfont effectivement. Pour cela, remarquons qu'en les adoptant, Téquation [3] sera satisfaite pour les valeurs a» 6, ... A, / de x; or f{x) étant , par hypothèse , de degré moindre que F(A?), cette équation est de degré m — 1, elle ne peut donc avoir m racines sans être satisfaite identiquement.

Cas des racines imaginaires.

986. D'après ce qui précède, en désignant par f{x) un polynôme de degré moindre que V{x), et par a, 6, c ..., A;, / les » racines de F(â;)=0, on a identiquement

'-'■' V{x)—¥{a)[x—ayV{fi){x—b)^"''^¥(l){x~iy

Cette formule suppose seulement que les racines a, b,...^k^l soient inégales. Elle s'applique au cas où quelques-unes d'entre elles seraient imaginaires. Seulement, dans ce cae, il sera convenable de faire subir au second membre quelques réductions destinées à en faire disparaître les quantité imaginaires qui y sont en évidence.

Soient «+Pv^--^f «— Pv/— î» deux radines imaginaires ; il e$t facile de voir que /I«+pv^^^) et /(«— Pv^^^} ne difiërmt que par le signe de sj — 1, en sorte que l'une des deux expressions étant P+Qv/^ l'autre sera P— ûv/^ de même, F'(a+pv/^ et F'(a— Pv/— 1) pourront être représentés par M+N^/— i, jl — Ny^ — 1, en sorte que les deux termes de second membre de [1], qui correspondent aux racines considérées, sont de la forme

P+Qv/-t I P-Qv^=T

(M+Ni/==T)(a: — a — py/— I) (M— Nv^— l)(a?--a-fpv^-.l)'

DteNipeeiTiOff 9ÊS wwkcnom mnnoifinLLis. 48S

m, en rédukant au même dénominateur, et €upprimant les termes qui se détruisent ,

2(PM+QNXar— «) ^ 2PNp +2QMP

On voit donc que les deux fractions simples qui correspondent à deux racines conjuguées, peuvent êlre réunies en une seule dont le numérateur est du premier degré par rapport à x, et U dénominateur du second.

C9S deis racines égales.

Stt7. Si le déooQainatew de 1a fraction

contient des racines égales , les formules précédentes ne sont plus applicables ; on peut néanmoins décomposer cette fraction en d'autres plus simples ; pour le montrer nous établirons d'abord le théorème suivant.

Si a désigne une racine multiple de V équation F(a?)=0, « son

f(x) degré de multiplicité^ la fraction rationnelle pj^ pourra toujours

être décomposée de la manière suivante ,

m A^) A Mx)

*■ ■' F(;r) "■ (a: — a)* "^ (a? — af-'Yi {x)'

A désignant une constante, fi(x) un polygone entier et rationnel^ Fi(x) fe qfiÊCêient de la division de F(x) par (x — a)*. On a, en effet, identiquement et quel que soit A ,

[21 A^) ^ fl^) ^ A , f{x)-A¥t(x) *• •' ¥{x) (X — arh\ {X) {X — a)* "^ (a? — a)*F,(a7) *

Si nous déterminons A par la condition

[3] r(a)-AFi(a) = 0,

le numérateur du second terme du second membre s'annulera

parx=«, et seta, par eoDséqnml, dnisOdepar* — •;enp»- Hot donc

— — fl *i t

U fiendra ^=, ^ .,+ , — ^ctt-t î

P'x, (X— 41,*^ (X— «.— «FiCx;

ce qui déoHMilre la propositkm énoicée.

RiMAKKn. F/jT; étant le quotient de la dnision de F(x) par la plus haute puissance de x — a qui poisse le dÎTiser, Fi(c) ne sera jamais nul, et Téquation [3] fournira toujours pour A une valeur unie. On peut remarquer que cette Talmr ne sera jamais

nulle : car la fraction ^^ étant réduite à sa plus simple ex-

pression , f{x) et F'x) ne peuvent pas avoir de racine commune, et , par suite , le numérateur /(a) de Ai ne peut être ^al à zéro.

Après avoir mis la fraction —-{ sous la forme

(X— af ^ (x—aT-^?lx)^

si Ton applique la même méthode au second terme de l'expression [1] , on pourra le mettre sous la forme

*- -" (a? — a)^* ^ (a:— a)*-«Fi(x)'

Al étant une constante qui , cette fois , peut être nulle , et fix)

une fonction entière.

f {x\ On pourra de même décomposer \Uvr^\ en une somme

de la forme

jo-i At . U{x)

L^J (X— a)*-* "^ (X— a)»-»Fi(a?)'

et, en continuant ainsi , on voit que la fraction proposée prr-^ peut être mise sous la forme

f[x) A Al , , A«.i , Up^

F(i] (X— ar "^ (X — aT-' "t • • • "r (x— a) "*" F,(a?)'

DÉCOMPOSmOM DBS FRACTIONS RATIONMILLIS. 425

A , Al y .. . A«.i étant des constantes finies et déterminées dont la première n*est pas nulle, et fJix) une fonction entière.

Soient maintenant b une seconde racine de F(a?)=:0, et p son degré de multiplicité, en sorte que Ton ait

flx) en appliquant la méthode précédente à la fraction yt^s^ ^° ^^*

tiendra une expression de la forme

Y^)—{x—bf'^{x—hf-''^"''^{x—b)'^¥^y

B, Bi, ... Bf^i étant des constantes déterminées, et f^x) une fonction entière. Il résulte de là qu'en général si on suppose

F(a:) = (a?— af(a?— 6/ ... (a:— (?)T; la fraction -^ pourra être décomposée de la manière suivante

B , Bi , , Bp-i

A, Al, ... B, Bi, étant des constantes, et E(a?) une fonction entière.

La méthode précédente en prouvant la possibilité de cette décomposition, donne en même temps le moyen de reCTectuer.

La décomposition n'est possible que d'une seule manière.

3S8. Nous allons maintenant prouver qu'une fraction rationnelle ne peut être mise que d'une seule manière, sous la forme indiquée dans le paragraphe précédent.

Supposons, en effet, que Ton ait trouvé deux développements

4Î6 ^êocmMÊimim dis rtAcrioifs RATHmifnLLn.

drime même fraction rationDelle :

(« — ar+(a?-ar'-* + '- + ^=t + (a?-^6)^+- + ^'^'^^-

a et a' étant respectivement les exposants des plus hautes pui^ sances de x — a dans les deux membres. Je dis que l'on doit avoir a=a\ A= A'. Supposons, en effet, s'il est possible , que Fun des deux exposants, a par exemple, soit plus grand que Tautre ; tirons de Féquation qui exprime l'égalité des deux dévelop-

pementSt la valeur de 7 ~ , et réduisons tous les autres tei^-

(X — ar

mes au même dénominateur, on aura un résultat de la forme

(x—aT {x—aJT^'.xy

(p et 4" désignant des polynômes dont le second n'est pas divisible par X — a. D'ailleurs A est une constante, il faut donc qu'elle soit nulle, car l'équation précédente donne A=0 pour x=a. Je dis maintenant que A = A' ; en effet, en égalant les développe-

ments et faisant passer le terme r-——r;daiis le premier membre ^ on pourra recommencer le raisonnement précédent et prouver que A — A' doit être égal à zéro.

Les termes qui renferment les plus hautes puissances de x^-^ dans les deux développements étant égaux entre eux» on pourra les supprimer dé part et d'autre et les restes seront égaux. Il faudra, par conséquent , que les termes qui dans ces restes contiennent les plus hautes puissances de â?-*^a, soient aussi égaux entre eux, et, en continuant ainsi, on prouvera que les fractions simples qui composent les deux développements, et, par suite, enfin les parties entières E(^), E\x) sont égales chacune à chacune.

DBGOVPOSITION DES FBAGTIONi RATlûHiaLLBt.

MéUiode pour le calcul des coefficients.

359. Pour effectuer la décomposition d*une fraction rationnelle on peut employer un procédé beaucoup plus simple que celui qui résulte de la méthode indiquée plus haut (357).

la fraction proposée, et (x — a)*» un facteur multiple de son dénominateur, en sorte que

f(x)^ f{x) Y{x) {x^a)*¥(xy

Pour trouver, par une seule opération , les fractions simples qui ont pour dénominateurs les diverses puissances de x — a , on posera

f(x) f(a+h) (j:— ar F(;r) "" A*F(a+A)*

Ordonnons actuellement les deux polynômes /la-f-A) et F(a+A) suivant les puissances croissantes de A, la fraction deviendra

A+AtA+A,A*+...+A^'*

(B+BiA + BîA*+ . .. +BpA''jA'**

Effectuons actuellement la division du numérateur par le premier facteur du dénominattnir en ordonnant le quotient suivant les puissances croissantes de A, nous obtiendrons des restes successifs dont les degrés croîtront sans cesse, le premier terme de Fun des restes finira donc par être de degré ^al ou supérieur à n. Arrêtons alors TopéraUon : le quotient sera de degré n — 1 , et Ton aura

"^B+B,*-|-...+B^' oa, en divisant les deiu membres par Ar, remarquant qne ton*

les termes de s(A; coolieimeiil k à une puissaiice sopérieiire i»,etpo6uit

il TlOlt

A+A«*-t-A^+-.-+AJfc- C . C, . ,^, *XB-|-B,*+-+M^ ~ A- ''"*-' '•"•*'*" A "*■

et, en remplaçant k par la yaleor x — a, le premier membre de cette équation dcrient, précisément , la firaction proposée; le second se compose de la scnnme des firactions simples

qui ont pour dénominateurs les puissances de x — a, et d'une fraction rationnelle dont le dénominateur ne contient plus It facteur (x — a) , et que Ton tndtera de la même manière que la proposée pour en déduire les firactions simples relatiyes aux antres racines et qui complètent le déTcloppement.

^ Cas des radiies iouginaires égales.

500. La méthode que nous Tenons d'exposer ne suppose nullement que les racines multiples de Téquation proposée soient réelles. On doit remarquer seulement que si elles étaient imaginaires, on pourrait, dans le résultat , grouper les termes deux par deux, de manière à faire disparaître les imaginaires ; mais il sera plus siiQple d'adopter, dans ce cas , une forme de développement dont la possibilité résulte du théorème suivant.

Théobèms. Si le dénominateur éTune fraction ratùmnnelle 7^

admet n fois une racine imaginaire a+Pv^ — 1 et la conjuguée « — Pv^ — 1, en sorte que ton ait

DiCOMPOSmOIf DB8 rRACnONS RATIONNKLLBS. 429

on pourra toujours poser

r.n fix) Pa:+Q flx)

»■* J F(x} "" [{x^ «)*+ p*]- "^ f(ar-a)*+p«]-iFi(ar) *

P et Q étant des constantes , et fJix) un polynôme réel. On a, en effet, identiquement

roi /(a^)^ A^) P^+Q , A^MPa?+Q)Ft(a?)

»■ J Y{x) [{x^af+^^\-¥,Kx) [(a:-«)«+p«]-"^ [(«-«)«+ pi-FtCa?/

Or, on peut évidemment déterminer P et Q de manière que le numérateur de la deuxième partie du second membre s'annule pour les hypothèses ;

et soit, par conséquent, divisible par {x — «)*+p*. Si Ton suppose , en effet ,

/(«dipv^=T)=M±N^/=î, F,(«d:Pv/=ÎJ=M'±N'v/=î, la condition demandée équivaudra à

(M±Nv/=r)-[P(«±Pv^=î)+Q](M'd:NV=î)=0;

et en égalant à zéro le coefficient de >f^ et l'ensembfe des termes réels , on obtiendra dei»c équations qui fourniront , pour P et Q , des valeurs réelles :

Le numérateur A^) — (Pa7 + Q)Fi(a:) étant divisible par {X — o?H-p*, on peut le représenter par [(a?— «)*+P*]A(^)» et réquation [2] devient alors

^^J W) ~ [(^— «)»+p^'• "^ \,{x^ af+ p«]--T,(a?)-

Si l'on applique le même procédé de décomposition à la frac-

tion

i o«in-ii?/ x> ^^ '^ mettra sous la forme

[(a?-«/+P']'*-TiW

Pi^î+Qi

490 DÉCOMPOSITION DBS FRACTIONS ftATIONNSLLKS.

et en continuant de la même manière, on Terra que la fraction

peut se décomposer de la manière suivante :

f(x) Vx+Q Pia?+Qi^ I

V(x)~ [(«— «)'+pT"^ [{x—ay+vy-''^ —

■♦■(a? — o)*+p""^ Fi(a?)'

En rapprochant ce résultat de celui qui a été obtenu (387), on obtient le théorème suivant :

361 . Théorème. Si ton décompose le polynôme F(x) en facteurs réels du premier et du second degrés en sorte qvs Von ait

f{x)={x—a)\x—hf...[a^-^px^qT..,{a?'{^rx-^$T,

fCx) on pourra décomposer la fraction rationnelle «^ de la manière

f[x) "" ''■ (a?— ar "^ (a?— a)*-* T • • T (^^j

E(a;) désignant une partie entière qui peut être nulle, et Â, Ai, K^iy P, Q ... des constantes réelles.

Le procédé qui nous a servi à prouver la possibilité de la décomposition donne aussi le moyen de Teffectuer, et on pourra PappHquer pour former les termes qui correspondefit aui Acteurs du second degré : «*H-pa?+g, a^'\'rx'^s...

On pourrait démontrer comme nous l'avons fait (31S8) , que la décomposition en fraction de la forme indiquée précédemment n'est jamais possible que d'une seule manière, et dé-

DiQOMPOSlTiON DIS FRACTIONS AATIONlfBLUHL 431

duire de là un moyen de trouver, par la méthode des coefficiients indéterminés, les fractions qui répondent à une racine donnée. Mais nous supprimons ces détails, qui ne présentent ni difficulté ni intérêt.

RÉSUMÉ

5M. Bat de ce chapitre. — 389. Cas où le dénominateiir de la fraction à décomposer n*a pas de racines égales. — 32$6. Transformation du résultat dans le cai où il y a des racines isiaginaireg. — 387. Cas des racines égales. — 388. La décomposition sous la forme préoëéente n'est possible que d'une seule manière. — 389. Méthode pour calculer les coefficients. — 360. Cas des racines imaginaires égales. — 361 . Théorème général qui résume la théorie exposée dans ce chapitre.

EXERCICE

I. Si cp(ir)=0 est une équation de degré n, et a. A, c ... , A, / ses racines, on a pour toute valeur dep plus petite que n — 1 :

cp'(a) • cp'(6)

(2a;-3) (5x~.4) "" 2ar— 3 5a?— 4*

a^+Wx+^Q a;+6 a?+5'

*«• X 1 I X ' et

a'— x^ 3a(a— a?) ~ 3a(a:;»+aa?+a')*

4+30? ^ A 7 , ar-7

ar(o?— l)(a?»+l) a;"^2(a?— l)"^2(a?'+l)*

vn.

(5— a?)« (5— jr)* 5— a?' 5-fag— 2a?« 17 , 6 1

432 DiCOMPOSlTION DES PRACTIONS KATlONIfBLLBS.

(4— «)• (4— X)» (4—xf' '

l4-a;+a*+3a!* 1 17+18x . 1 8+1&P (1— «+6a:')' 25*(1— a;+5«»)»"^25*l— ar-l-Sa;''

1 __ 1 ( y/2-{-x , yfî—x ]

(7+ar) (!+«)• "T+a;"*"