CHAPITRE XXX

SUR LES EXPRESSIONS HfAGINAIRES.

DéftnitioiiB et notations.

569. La résolution des équations du second degré conduit, dans certains cas , à des expressions qui n'ont aucune valeur numérique, et renferment l'indication d'opérations impossibles à effectuer. C'est dans un but de généralisation que Ton a été conduit à employer ces expressions imaginaires. Nous avons vu , par exemple , qu'en les adoptant , on a l'avantage de pouvoir énoncer sans restriction des théorèmes tels que les suivants :

Toute équation du second degré a deux racines.

Dans toute équation du second degré de la forme ai^'^'Px-{-q=z0^ldi somme des racines est égale au coefficient du second terme , pris en signe contraire , et leur produit au terme tout connu.

Ces avantages , qui dans le cas que nous citons sont à peu près insignifiants , deviennent très-importants dans la théorie générale des équations.

Les expressions imaginaires peuvent aussi être introduites utilement dans la solution de quelques questions, comme nous le montrerons dans ce chapitre.

363. On donne le nom d'expression imaginaire à une expression de la forme a + y^ — K, — K désignant un nombre négatif, v^ — K n'est pas un nombre , en ce sens qu'il ne peut servir de mesure à aucune grandeur; mais il peut figurer utilement dans les calculs, d'après cette condition que son carré soit toujours remplacé par — K. Si Ton applique, en outre, aux nombres imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour les nombres réels, les opérations relatives à ces nombres seront suffisamment définies et fourniront toujours , comme on le verra, des résultats de même forme qu'eux.

564. — K, étant négatif, peut être représenté par un carré pris en signe contraire, — 6% le type d'une expression imaginaire , devient alors

que l'on écrit sauvent a + * v^— î-

Remarque. On substitue à yj — 6" Fexpression h^f^^ en vertu de la convention Mie plus liant : appliquer aux nombres imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour èes tiOinfctNM réels. — 8* peut être coiisidéré , en effet , cdinme te ifrodùit *■ X (— 1), et, en Tèrtttd'tine règle démontrée généfiilëtiiéfiit ptytir les nombres réels , on peut faire sortir le facteur B^ âa todteti.

Mil. Qséls que ^eietit les nombi^ réels a et ft^ Texfiresrion ittiagiiiaka

^ fàckie d'Une 6^tien 4è seccmd deghfi

La seconde racine de cette équation est, comme on le voit facilement,

«4- V— ï et u^i^/—i se nomment A^ expressions im*

ginaires conjuguées : elles jouisseat^ évidemment; de la propriété d'avoir une somme réelle 2a et im produit réel «• + *'•

Puissances de \/^.

iftft. batiS les câlifuls que Ton eÉfectue sur les expressions de

là formé a + 6/^, on applique (365) à ces expressions toutes

ies règles du calcul algébrique ^ en opérant cimime tà. V--^ étût un notmbre. Quelques géomètres représentent De sjrBibeie par une lettre i , et dans les résultats , ils reffiq[>laGeBt i* par

■=^i : le» piiiissances successives de t ou v^^ se trouvent par là déterminées.

(v/~i7=i>=t«x»=-v^=î (v/=:î)*=»*=(iV=i

M ainsi lie suite. On à , en général , n ^hftsignant un nombre «nUer^

Toutes ces conventions sont nécessaires si l'on veut pouvoir appliquer aux calculs faits sur les expressions imaginaires les règles générales relatives aux nombres réels. Elles permettent de démontrer fe théorème suivant , qvà est fort iinporiant :

Produit des expresaldiii Imaginaires.

S67. Théorème. Si l'on considère un nombre quèieànqise d'expressions imaginaires,

(a, + 6iv^=^),(a, + 6,v/^),(fl, + &8v/^) •••(«« +

qw i'on effectue letêr produit ff après les règles de la multiplication algébrique^ en remplaçant les puissances de v^—- 1 par les valeurs indiquées plus haut , quel que soit Vbrdrè dans lequel on opèrCj le résultût Hhn identiquement le méme^ c'est-à-dire que l'on obtiendra la même partie réelle et le même coefficient pour

Si nous remplaçons en effet ^—l par t, on sait que le résultat sera identiquement le même, quel que soit Tordre 4ue Ton adopte pour les multiplications successives , et que les coefficients des mêmes puissances de t auront dans tous les cas les mêmes valeurs. Si donc, dtos le* polynômes identiques, 6n

436 SUR LES EXPEESSIOMS IIIAGINAIEES.

remplace les puissances de i par les valeurs indiquées plus haut , savoir :

t^** par 1

i**+» par y/^

,-4n+l par — 1

, t*""^ par — )f^,

les résultats ne sauraient être différents; or il est tout à fait indifférent de remplacer, à la fin du calcul , chaque puissance de t par sa valeur, ou de faire successivement les substitutions après chaque opération partielle : car ces substitutions se réduisent toutes à remplacer deux facteurs égaux à t par le facteur — 1, et peu importe qu'on le fasse en une fois ou successivement.

368. Nous donnerons immédiatement une application du théorème précédent, Considérons le produit

si on multipliplie les deux premiers facteurs , on trouve

et en multipliant les deux derniers ,

(a^b\f^){c — dy/^) = iac--bd) — iad + b€)^f^, en sorte que

ou, en effectuant,

D'un autre côté, en multipliant le premier facteur par le troisième , et le second par le quatrième , on a

(c+rfy/Hî) (c^dif^)z=d^^d'; donc P = («« + 6») (c' 4- d").

ce qui donne la formule

(a* + 6«) ((?' + eZ«) = (ac — Mf)« + {ad + 6c)% laquelle csl, du reste, extrêmemenl facile à vérifier.

lalroduclioD des lignes Irigonomélriques dans les expressions imaginaires.

369. Les expressions imaginaires peuvent se mettre sous une forme particulière qui simplifie souvent les calculs auxquels on doit les soumettre.

Soit l'expression

a + ôv^-i;

si Ton pose

a = p cos f

ft = psiny,

on pourra , quels que soient a et ô, trouver pour p une valeur positive, et pour <p une valeur moindre que 2i7, qui satisfasse à ces deux équations ; il suffira de prendre

[4] tang(p = -.

Les équations [3] et [4] se déduisent , en effet , de [l] et [2] en ajoutant leurs carrés , et en les divisant membre à membre. Réciproquement, si p et 9 ont les valeurs indiquées par les équations [3] et [4], on aura

1 la

cos ? =

v/l+tang«9 ^,A.6* ±v^6* + a«

tan^cp a sin <p = ^^ ~-

rtv'l +tSi'9 ± * /1 .ui' ^-y/<^-\-à

m ^Ua LES ^PBJSSSIÛNS iy4GlNÀlR|§.

et en remplaçant ^b^-^-a* par p,

sin 9 = -rr •

c'est-à-dire o = ±: p cos ç ,

6 = ± p sin cp ,

ce qui coïncidera avec les équations [1] et [2], ^i Ton a soin de prendre pour y celui des deux angles qui , ayant V^^ tangente

-, a son sinus de même signe que 6.

D'après ce qui précède, une expression imaginaire o+ fty/^ peut toujours se mettre sous la forme

P (cos (p + v^— ï sin 9),

et ne peut évidemment s'y mettre que d'une seule manière ( p devant être positif et ç moindre que 2?:).

p se nomme le module et 9 l'argument de cette expression imaginaire. Nous allons voir qu'il y a iiu avantage de simplicité à mettre les expressions imaginaires sous cette fbrme.

Mulliplicalion et division des expressions imaginaires.