Soit à multiplier les deux expressions
p (cos 9 + v/-^ V^^ f )'
' p'(cqs?'^r/=î|i*9')-
En effectuant le produit et remplaçant seulement te carré de v/ — 1 par — 1 , on trouve
PP'[cos 9 cos 9' — sin 9 si^ <ît' rlr ^—i' (cos 9 sin 9''+ sin 9 cos 9')] = pp' [cos (9 + 9') + v/^ sin (9 + 9O] ;
par conséquent, pour multiplier V une par i'mice detix expressions imaginaires^ il faut multiplier les mçàules e^ ajouter tes arguments.
sua us BXFEBSSI0V8 III4GI1U1RB8. 4M
La règle précédeptc permet évidemment c|e faire le prQ^t d*un nombre quelconque d'expressions imaginaires.
571. Pour diviser, Tune par l'autre, deux expressiQps iin^|-« naires, il suffit évidemment de diviser les modules et dç rel)r^T cher les arguments. On a on effet
p(coscp + v/ — isincp) p r , ,^ , , . , ,^-
p' (cos «p' + v^— 1 sm f J P
Cette égalité devient évidente si Ton chasse le dénominateur et que Ton effectue la muiliplication du second membrey d'apsès la règle donnée précédemment.
Puissances d'une expression imaginaire.
572. Si l'on suppose que les expressions à multiplier deviennent toutes égales entre elles , les théorèmes précédents proi^-t vent que
La puissance entière d'une expression imaginaire a pour moduh la puissance correspondante du module^ et pour argument le pro^ duit de V argument par l'indice de la puissance. Ainsi l'on a
[1 ] [p(cos <p + yj—i sin <p)]*» = p** (cos m<p + y^^ sin m<p).
Cette formule, très-importante en analyse, s'étend, comme nous allons le faire voir, au cas où m désigM un nombre fractionnaire ou négatif.
Supposons d'abord que m y soit remplacé par ^, m' étant
entier, il s'agit de montrer que l'on a
[2] [p(cosî + s/=îsin^)f ==p'^'(cosJ,+v^sin 1,).
Pour vérifier celte égalité , élevons les deux membres à ^ puissance m' : le premier donnera, évidemment, pour résultat
p(gos<p + V^--ï sip f}f
et la règle donnée pour les puissances entières montre qu'il en est de même du second.
BsMARQUE. G0S9 et sin^ étant donnés, cos-^ et sin^, ne
sont pas complètement déterminés et restent susceptibles (voir la Trigonométrie) de plusieurs valeurs distinctes. Il en résulte aussi des valeurs distinctes pour l'expression
[p(cosî)4-v^^sinî>)]"*',
ce qui est conforme aux principes indiqués dans la théorie des équations.
575. Si nous considérons maintenant le cas où l'exposant m est remplacé par une fraction - , il faut prouver que
13] [p(cos9+v^sinç)j" = p-(cos^ + ^sin'^).
fît
En effet, élever une expression à la puissance -, c'est, par définition , en prendre la racine »•"•, puis élever le résultat à la puissance m\ or, les formules [1] et [2] permettent de faire successivement ces deux opérations , et l'on est ainsi conduit u la formule [3].
374. Supposons enfin que m ait une valeur négative — m\ il faut prouver que Ton a
[p (cos <p + v^^ sin <p)]~^' = p-~'(cos — m'? + V^---î sin — 7/i'(p); pour cela, remarquons que, par définition.
[p (cos ç + V^— 1 sin <p)]*"' p*'(cos »i'<p + sf^ sin m'<p) ' mais , on a
^ 1 cos 0 4- y/— î sin 0
P**'(cos »i'<p -|- >J — 1 sin w'cp) p"*'(cos «l'cp + v^— ï sin »i V)
= p-^(cos -m'cp +v/— ï sin — in'(p) j ce qu'il fallait démontrer.
378. Nous indiquerons quelques applications des formules précédentes.
Théorème. Tout trinôme de la forme
x* + px« + q
est décomposable en deux facteurs réels du second degré. Nous distinguerons deux cas :
1* Supposons que Téqualion du second degré
ait deux racines réelles a et p : on aura
et , par suite ,
2'' Supposons que l'équation
s' -i-pz + î' = 0
ait deux racines imaginaires, a + pv^ — 1, « — Pv^^ : on aura
et, par suite,
[1] a;*+pa;«+? = (a;»— a4-pv/=^(a?»--a-^pv/=ï), réquation [1] peut s'écrire
puis, en posant
a + p y/— 1 = p(cos<p 4" V^^ sin 9), a — p y/Zrr == p (cos <p — /^ sin <p),
