SUE LK9 «IMPRESSIONS lAUGINJUBSS

et, p^ suite (372),

Va + pv^=ï = v^p (cos| + v^=ïï sin I) ,

il vient

^+i>^ + ?= [•^— V^P (cos|+ v^— 1 sin0 j

[a: + v^P (cos I + v/-i sin î)] [^ - v/p (cos I - v/-l sin î)]

[^ + V^p(cos| — /=Tsin|)j,

ou, en réunissant le premier et le troisième facteur, et le second et le quatrième qui , évidemment , sont conjugués ,

«*+P^+?=[(a?— v/pco80 +psin'|J

[(« + V^pcos|) +psin«|j,

et le trinôme est ainsi décomposé en deux facteurs réels du second degré.

Problèmb. Exprimer cosmcp et sin mcp en fonction de cosç e de sin 9.

On a

(cos <p + yf-^ sin ç)** = cos m^ + ^—i sin m^ ;

en développant le premier membre par la formule du binôme et égalant le résultat au second membre, c'est-àrdire^ écrivant que les parties réelles sont égales, ainsi que les parties imaginaires , OH a

cosm9=cos> -^ — ' cos"*~*<p sm*<p

sini««P=»tcos'^'9Sin? — »»(>»— 1)(»»— 2) cos"-*, sin»» + . . . .

sua i# B^Rsiisia^ u)a^iM4iRisa. ^

PROBLiiiB. Évaluer x» H — -en fonction cte x + i.

Posons âî-f--=2cosîp; on en lire

a?=cos<p + Y— ^ sino,

-==cos<p — y/— isinç,

et , par conséquent ,

^"*+^==2cosm?,

de sorte que, la formule qui donne cos mf en fonction de

iC** 1

cos <p, permettra de calculer — r — en fonclion de a? + -•

RsHiEQUE. Pour obtenir la formule demandée, nous avons supposé à X une valeur imaginaire

a? = cos 9 + si — 1 sin cp ;

le résultat est-il suffisamment établi pour une valeur réelle quelconque de a?? Pour démontrer que 1^ formule est générale, il faut remarquer que si Ton chasse les dénominateurs, elle est de degré 2m, et l'on sait par la théorie des équations, qu'elle doit alors être identique, si elle a Heu pour plus de 2m valeurs réeues ou imaginaires de la variable.

RÉSUMÉ

362. On rappelle que les expressions imaginaires se sont li^^'«4^te9 d^ un but de généralisation dont riqiportance devient plus grande encore dans la suite de Falgèbre.—- 363. Une expression imaginaire n-étant la ii|e^p§e d-a.ucune gran4emr, n'estî gas un nqiQl^e , mai» à Vs^d[9^ df conventions convenables , elle peut figurer utilement dans les calculs.

— 364. On a 1- habitude de donner aux expressions imaginaires la forme

a^5y/— .f. — 568. Toute expression imaginaire est racine d-une équa* tion du second degré, l'autre racine se nomme expression conjugaée.

— 366. Puissances successives de v/— 1. — 367. Un produit de facteurs imaginaires ne change pas quand on intervertit les facteurs. — 568. Application du théorème précédent à la vérification d'une formule

d'algèbre entre nombres réels. — 569. Expression trigonométrique des expressions imaginaires ; déûnition du module et de Targument. — ' 370. Produit de deux expressions imaginaires. — 371 . Quotient de deux expressions imaginaires. >— 372. Puissances d'une expression imaginaire. — 373-374. Extension du résultat obtenu au cas d'un exposant négatif ou fractionnaire. — 375. Application des formules précédentes à quelques résultats où ne figurent plus que des quantités réelles.

EXERCICES

I. Démontrer, sans avoir recours à des expressions Irigonomélriques , que

va + ôv^^ est de la forme p+gy/^*