CHAPITRE XXXI

[1] <pfa:) = x* + aa?* -f ôvC* + cra? + d = 0.

Posons a:=a?'+A,

elle deviendra

et si nous posons <p"(A) = 0,

c'est-à-dire 6A -f 2a = 0,

ou A = — -.

L'équation en a?' ne contiendra pas de terme en a?'* et sera de la forme

[2] a?'«-fpar'-f-ï = 0.

C'est sous cette dernière forme que nous étudierons Téqualion du troisième degré en supprimant l'accent de la lettre x.

577. Nous commencerons par traiter l'équation plus simple l'une de ses racines est évidemment

pour avoir les deux autres , écrivons la proposée sous la forme

et divisons le premier membre par x — 1 , nous obliendrons

aî« + j?4-l =0,

dont les racines sont x = 1 .

Ces deux expressions imaginaires sont les racines cubiques de l'unité; dans ce qui va suivre nous représenterons Tune d'elles par la lettre a , l'autre sera a', comme on peut facilement le vérifier,

et il est clair d'ailleurs que si Ton a

on a aussi («•)* — 1 ,

donc a* doit être racine de l'équation [i] tout^ les fois c(tié « y satisfait lui-même.

' 378. Reprenons acluellement l'équation

[1] x' + px + q = 0,

h laquelle peut se ramener (576) toute équation du troisième degré ; posons , pour la résoudre ,

elle déviendra

ce que l'on peut écrire

y»+5» + (y4-5)(3y-5 + i)) + jr = o,

y ei z étant assujettis à la seule condition d'avoir pour somme la racine cherchée x, nous pouvons établir entre elles une relation arfoitrair e et poser

HéSDLtJTION Bfiâ ÉQUAtlONS DÛ TROIdlÊATB DSGfti. 447

réquàlion devient alors

Or, on résoudra les équations [2] et [3] en remarquant (m'elles fbnt connaître la somme et le produit des quafitltéô f et i", oft a en effet

y« + 3» = — jr,

y' et 2* sont donc les racines de l'équation

et par conséquent ces deux quantités sont respectiTement

on en déduit

579. La formule précédente exigé quelques explications. Un nombre quelconque A a trois racines cubiques, puisque l'équation

admet «lécesssiiremètit trois racihes. Pottf ôbtènit* ces trbîs fadhes , il suffit d*eii cotmaitre une sèiitè , et de la multiplier successivement par a et par a' [1] , ce qui , évidemment , ne fchaTige pas son cube.

D'après cela , la formule qui donne la valeur dé x semtle fournir neuf solutions, earchaqtie radical a trois valeurs^ et rien n'indique la dépendance à établir entre elles. On doit remarquer pourtant que cette dépendance existe; nous avons , en effet [2] ,

448 RESOLUTION DBS iQUATlONS DU TROISIÈME DEGRÉ.

le produit des deux radicaux doit donc être réel et égal à P

Soient, d'après cela, Â et B deux valeurs des rcicines cubiques remplissant cette condition , de telle sorte que l'une des racines de Téquation proposée soit

les valeurs de y et de js sont , outre A et B,

aA , a'A, aB, a«B,

et il est clair que le produit AB étant réel, les seules combinaisons qui puissent également donner un produit réel sont

a? = aA + a«B,

a? = aB -f- a'A ,

et le nombre des solutions se réduit à trois comme cela devait être,

€k)ndition8 de réalité des racines de Téquation «^ -f-pâ? + g=o, 380. On peut remarquer d*abord que les équations

ont leurs racines égales et de signes contraires , car si Thypothèse A? = a rend Tune satisfaite, Thypo thèse x=z — a satisfera à l'autre.

D'après cela*, nous nous bornons à chercher dans quel cas réquaiion

[1] a;^'\-px + q = 0

peut admettre trois racines réelles , g désignant un nombre positif.

La règle de Descartes nous apprend tout d'abord qu'il faut nécessairement que p soit négatif. S'il en était autrement

RftSOLUTION DBS ÉQUATIONS DU TROISIÈMB DEGRi. 449

réquation [1] n'aurait, en efTet, aucune variation, et la trans* formée en — a? (301)

— a^ — pX'\-qz=iO

n'en aurait qu'une seule. L'équation aurait par suite une seule racine négative et pas de racines positives.

Examinons donc le seul cas où p est négatif. L'équation a alors , d'après la règle de Descartes , une seule racine négative, et elle peut avoir deux racines positives, ou n'en pas avoir du tout. Ce sont ces deux cas que nous voulons distinguer.

L'équation proposée peut s'écrire

jgr = — a? — pa? = x( — p — a:*),

— |} étant un nombre positif.

Si X varie de 0 à \/^^ le produit xi-^p — x*) est d'abord nul , il augmente jusqu'à certain maximum , et redevient nul pour a? = v/ — p. Si donc le maximum surpasse ?, il y aura deux valeurs de x, pour lesquelles ce produit sera égal à j^, et l'équation aura deux racines positives moindres que y/--^* Si le maximum du second membre est moindre que g, l'égalité est impossible pour les valeurs de x comprises entre 0 et >J^^j et , par suite , pour toutes les valeurs posi ti ves de x , car le second membre deviendrait négatif si «* était plus grand que ^p.

S'il arrive enfm que le maximum du second membre soit précisément égal à ^, l'égalité ne pourra avoir lieu que pour une seule valeur de x, et les deux racines deviendront égales.

La condition de réalité des trois racines s'obtiendra donc en cherchant le maximum de

et écrivant qu'il est moindre que q. Or, ce maximum (869) correspond à la valeur de x qui rend la dérivée égale à zéro, et qui satisfait, par suite , à l'équation

Pour cette valeur, i/ — ^, le produit ;r(— p— rt';

devient -^y/^: ^ ^^

4M lÉSÔUmON 1^18 iOOATlOlfS DU TROISlin Mftli.

la oondilion de réalité des trois racines est donc

ou V+27î«<0.

mCMil M outre, oommeon Ta tu , que |) soit négatif, mais cette omditton est évidraiinent nécessaire à Texactitude de rin<ga«> lili |»4cédente» et il est inutile de la mentionner à part.

D'après ce qui précède, et en nous servant des principes gé* néraux de la théorie des équations, nous pcniTcms établir les propositions suivantes relatives à Téquation

1* La somme des trois racines est égale à zéro. Si Tune d'entre

elles est imaginaire et de la forme (a+P\/^)» il y aura nécessairement encore une autre racine imaginaire de la forme

(jBL—p^ — l) , et il n'y en aura qu'une seule.

S^ Le terme fort connu est égal au produit des trois racines pris en signe contraire. Si deux équations de la forme [1] né diffèrent entre elles que par le signe du terme connu , leixtÈ racines seront respectivement égaks, mais de signe contraire.

Ainsi, par exemple, les racines de Téqualion

«»— 3ôa?4-70ac0 étant 2 1 5 et -*< 7 , celles de l'équation

a:*— 39jp— 70=rO

seront —2, —5 et +7.

3* Lorsque |t ^Afmiify l'équation admet deux racines imagi oaires.

4*' Lorsque p est négatif y VéquatioB aura trois racines réelles

et inégales si (^ + 4) ^t négatif; elle aura trois racines

réelles , dont deux égaks si i~ 4" 4) ^^ ^^^o.

Enfin elle aura deux racines imaginaires si (^-f-jj est positif.

Aiti^, par enemplé, les écpiations sai?antei$ auront : Jî«+100a:=tl6=0 ^ dbi9s=o i '^^^^^ imaginaires;

a.-»— 7ad:16=0 ir»— I2^dzl6=0 2 racines réelle^ égalée ; «•— 20«dbl6=sO ) ^ . ^ 1, • , , a?»— 100^dbl6=0 J ' ^^^^* '^"^^ Iflégtfleè.

RésotetioD des é()ifitioDs du troisième degr^.-

Ht. Nous âttoits maintenant motriref cômmcîiH, à Paide des fonctions trîgonométriques , oa peut détertniftéf dlrèété^ ment toutes ]e§ racines, réelles ou imaginairas^ d'une équation du troisième degré.

1*' Cas. Racines réelles. Condition :

iê+t)

Loraque Téquation [2] contient trois racine» réeilas et kiégaka^ la quantité sens le radical du second degré (870) est né- S&tîve; et la valeur de m sera la somme de deux quantités ifaïaginaires.

Posons alors

— |=pcos9

et |4.i.«p^8in?V

la formule [4] deviendra

ar= V 9 cos (p + P sin <p s/ — 1 + V P cos «p — p sin ç ^ — 1 ; et, d'après la formiflé de Moivré (5t2) , on aura

a.= y? . (co8Î:if*:+sm2:i|**v3ï) +

459 EiSOLUTION DES ÉQUATIONS DU TEOISIÈMK DEGRÉ.

OÙ Ton doit donner h k les valeurs 0, t , 2. Il Tant que k ait la même valeur dans ces deux termes pour que le produit yz (579) soit réel.

On aura donc a?= 2 y/ p . cos^^ ^; ce qui donne pour les trois valeurs de k a:=2Î/7.COs|, 2^7.cos (1+120^) et 2v^p.cos^|4-24tfy

=2v^p.cos|, — 2v^p.cos(6(y>— 1^ et — 2v^p.cos(l20»— ly

Pour déterminer la valeur de p et de cp ( p étant essentiellement positif) on a

p«cos«9=| — p«sm»9=| + ^5

donc

coscp=-.^.

Remauqub. Si la valeur que la formule précédente assigne à cosf est négative, on cherchera dans les tables l'arc <p', qui a pour cosinus le même nombre pris positivement , et <p sera le supplément de 9.

Exemple I. Bissection d'un hémisphère par un plan parallèle à la base.

Soient x la distance du plan secteur du centre de la sphère ; y le rayon de la section circulaire ; r = 1 le rayon de la sphère ;

on aura l'équation

2;''7r, , xy^Tz f^K -yCr-or)— 1~ = ^,

ou % 1 —X)—X{1 — 00^):=: 1 ;

donc a^— Sx +1=^0]

équation qui donnera la valeur de a?.

Nous avons donc |)= — 3, g=l;

donc p = y/-=i,

et cos*= — ^=— ^; donc <p=120»,

et 1= 4(y»;

et les trois racines de l'équation proposée seront :

Xi= 2 cos 40° = 1 ,5320088 , i?,=:— 2 cos 200 =—1,8793862, Xz^ 2 cos 80°= 0,3472964;

donc a?i + a?! + arj = 0.

Parmi ces trois racines il n*y a que la dernière qui soit admissible en géométrie.

Exemple II. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la parabole

et de l'hyperbole 4xy = 7{x — 1).

Par élimination de y on obtient l'équation

dont les racines^ déterminent les abscisses des points d'inter* section : on a

jp =— 7,

log (— p») = 2,53529412 log q = 0,84509804

log 27 =1,43136376 C* . log 2 = 9,69897000

log p« = 1 , 10393036 C* . log p = 9,44803482

log p = 0,55196518 log cos 9' = 9,99210286

454 pISOLUTlOU UM iQUATIOUS WJ TâOISlIUX ^XGil.

log cos = 9,7433874 log cos = 9,9991272 log cos = 9,6476281 log 2 = 0,3010300 = 0,3010300 = 0,3010300

log v^7 = 0> 1 839884 == 0, 1 839884 =0,1 839884

log Xi = 0,2284068 log(-ar,)= 0,4841466 log ar, = 0,1326465 Xt = 1 ,60202) Xt = — 3,048917 Xz=l ,366896

Vérificatkm.

Xt— } t603D21 log Oh = 0,2284068

Xt = '^ 3,0489 17 log Xt = 0,4841466

Xi = 1 ,36Ç896 log ar, = 0,1326466

a:i + iTt + ^8 = 0 log Xi x% Xt = 0,8460979

Xi x%x%=^7

5S1. 9* Cà9. Raein$$ imaffênaires. Condition :

!• Soit|) NÉGATIF, on a j>— ^> et l'on peut poser, par conséquent ,

yC£=|.8lna,.

y=-y -|+|cos»= y-^sin'l

ou en remplaçant j par sa valeur ^^ U— ^,

|!=y^:y/tang| et ^=\/-l'\/^-

liSOLDTlON DIS iQUATlONS DO TlOISIÈIIi DIOU. 455

Soit maintenant 9 uu angle auxiliaire déterminé par Téquation

tangç = y/ tang|,

on aura y= y — |-tang(p, «=i/— |.cot<p} et , par suite , les valeurs de x sont :

y/IÏ.[tang, + cot,] = yC|.^^

et — iy — |.[tang(p + cot<pJ±v^I=î.vC:^.[tang<p— coti^J,

i^V^±V-lV-p.cot2,,

formules calculables par logarithmes.

On cherchera d*abord ,

ensuite, 2» tang 9 = y tang ^ ,

et après, S'» Xi = 2 y— | coséc 3f ,

a? = — i/— I coséc 29 db j/— 1 . y/— p cot 29.

Quant aux signes des racines , on tiendra compte de ce que la racine réelle est toujours de signe contraire à celui du terme absolu de Téquation , et que la somme des trois racines ist nulle.

ExKMPLE m. a? — 10,871385a; -f 18,01032 =s 0.

4S6 aiSOLOTION DBS ÉQUATIONS DC TKOISIÊME JDEGfti.

donc log (— ^^ = 1 ,6674908

log y/- ^ = 0.8387454

mais

log 2 = 0,3010300

CMogg = 8,7444786

!• donc

log sinw — 9,8842540

log tang» 9 = log tang ^ = 9,6686725

2* log tang 9 =9,8896576

3« log i/— 1 = 0,2795818 log v/==^ = 0,51814-24

log 2 = 0,3010300 log col 2cp = 9,4100229

CMogsm"2<p = 0,0138941 log y^^cot 2? =9,9281653 ~ log ari = 0,5945059 v^=p cot 2<p = 0,8476601

Donc les trois racines sont :

et 0? = + l,9605i3± 0,8475601 Xv^^-

Exemple IV. Délerminer les dimensions d*uri cylindre inscrit à la sphère, et tel que sa surface convexe soit égale à la surface convexe des deux calottes.

Soient r = 1 le rayon de la sphère,

y le rayon de la base du cylindre , et X là (tistance de cette base au centre de la sphère ,

RiSOLUTION DBS iQUATIONS DU TEOISIÈMB DI6RÉ. 457

on aura 4Tr( 1 — x) = Axy-K ;

mais !/ = vl — ^^

donc • 1 — x=^x\\'\'X)

ou a^-^-x^-^-x — 1=0.

Posons X = ^ ,

réquation deviendra

mais, dans celte équation, 2^ "'" 4 ~ ^^'^ »

donc l'équation a deux racines imaginaires dont nous ne nous occuperons pas.

En résolvant directement l'équation proposée à l'aide de la formule (378), nous aurons :

En se servant des tables de logarithmes pour extraire les racines cubiques, on aura :

Zz=.

donc

hauteur du cylindre.

Soitp