Exemple I. Soient données les deux équations

3y*-|-4a:y+3ic*— 9y— I5a?=0 (ellipse), y«— 2j?y+ ^+2y— 10a?=0 (para.bole).

Ces deux équations combinées ensemble donnent l'expression

(3+>}^+(4— 2X)iïry+(3+X)a:«— (9— 2A)y— (15+lOX)*rfcO,

et Ton obtient pour Téquaiion [8]

32X»+388X«+664X+189±ii(>.

Cette équation a trois racines réelles et négatives qui sont :

Xxi-^, x^-l, x--^.

La quantité A:=— 20(1-[-2a)

étant positive ou nulle pour chacune des trocs vàkmf*s de X, le^

DU SECOND DIOâi. 463

courbes données admettent trois systèmes de sécantes communes réelles dont les points d'intersection se confondent avec ceux des deux courbes.

Il ne s'agit plus que de déterminer deux systèmes de sécantes et de chercher leurs points de rencontre.

Pour >=— î,

les deux équations du premier degré sont

y=— a;+2±2, système de deux droites parallèles.

Pour X=— V,

nous aurons y = — — •2dbf— +2j.

Les points d*iiiterseclion des quatre sécdnted doAl :

Ces quatre points sont les sommets d'un trapèze dont les côtés sont formés par les quatre sécantes. Les deux autres sécantes, correspondant à X=— f, seraient les diagonales du trapèze.

Exemple IL Déterminer les points d'intersection des courbes

a:y— 3a?+6=0 (hyperbole), a:»— 9y=0 (parabole).

Si, dans la première de ces deux équations, on substitue à y sa valeur tirée de la seconde équation

on obtient immédiatement Téquation du troisième degré

dont les racines déterminent les points d'intersection des deux

464 BÉSOLOTION NUMERIQUE DE DEUX ÉQUATIONS

courbes. Celle équation a trois racines réelles, deux positiyes égales, x — 3, et une négative, x= — 6. A ces deux abscisses correspondent les ordonnées

y=:l et y=4;

donc les deux courbes se touchent au point (3,1 ) et se coupent au point (—6,4).

Exemple III. Soient données les deux équations

y'+^-~2a:=0 (cercle), 2xy — 1=0 (hyperbole),

réquation résultant de la combinaison sera

et en écrivant que cette équation représente deux droites , on trouvera

Cette dernière équation a une racine réelle et deux racines imaginaires.

Pour évaluer la racine réelle , nous nous servirons des formules données (581) ; nous aurons alors :

logsinw = 9,585 3481,

logtang'l = 9,301 3783,

logtang<p=9,767 1261, logsin2flp = 9,940 3459, logX = 0,l22 1235, X = l,324 718;

la quantité k=4(k*—l)=^

élant positive pour la valeur de X que nous venons de trouver,, les deux équations du premier degré

y= — Xa;±:-=(a?4-X)

BU SSCOMB DIGRi. 465

auront leurs coefficients réels ; et , par conséquent , les deux courbes admettent un système de deux sécantes réelles communes.

En substituant ces deux valeurs de y dans Téquation

2ary— i = 0,

on arrive à Téquation du second degré

Pour que les racines de x soient réelles-, il faut que

Si nous prenons le signe inférieur, le premier membre devient négatif et la condition de réalité n*est pas remplie; par conséquent la droite

y = — Ix (x + ^)

ne rencontre pas la courbe.

Si au contraire nous prenons le signe supérieur, le premier membre devient positif et la sécante

rencontre la courbe en jJeux points.

En substituant à X et y^X leurs valeurs numériques , la dernière équation deviendra

Equation qui combinée avec celle de la courbe,

2xy — 1 =0, donne les deux solutions réelles des équations proposées,

et a; = 0,557424, y = 0,896791 .

JS6 RéSOLDTION NUMfeUQUK M DOTX ÉQUATIONS

ExKMFLE IV. Résoudre les deux équations

4y* 4- 9a?" — 36a? = 0 (ellipse),

xy— 12 = 0 (hyperbole),

l'équation de condition est :

Cette équation a trois racines réelles; la première positive et comprise entre 13 et 14; les deux autres négatives et comprises entre — 3 et — 4, et entre — 10 et — 11.

Parmi ces trois racines il n'y a que la première qui rende positive la quantité ,

;fc = ;^»-l44 = ^,

par conséquent il n'y a qu'un seul couple de sécantes réelles, dont l'équation est

Iv1(^+f)'

mais nous allons démontrer directement qu'aucune de ces deux droites ne peut rencontrer les courbes ; car en substituant la valeur de y dans la seconde des deux équations proposées

on obtient les deux équations du second degré

La condition de réalité des racines de x est

ou — X±:24i/|>0,

11 est évident que cette condition n'est pas satisfaite lorsqu'on prend le signe négatif ; car alors tous les termes du' membre à gauche seraient négatifs.

Mais comme X >> 13, la condition n*est pas remplie non plus lorsqu'on prend le signe positif.

Par conséquent les deux droites ne peuvent pas rencontrer les courbes, donc les deux équations proposées n*ont que des racines imaginaires.

ExMPLB y. Soient données les deux hyperboles

8xy — 42y + 9=rO,

déterminer leurs points d'intersection.

La valeur de y tirée de la seconde équation et substituée dans la première, conduit à Téquation du second degré en x^

équation qui a deux racines réelles a; = 5 et jr = 3 1.

Les valeurs de y correspondantes , sont y = f et y = |.

Mais les deux courbes proposées sont des hyperboles rapportées à une asymptote commune prise pour axe des abscisses; donc en outre des deux points d'intersection que nous venons de trouver, elles ont encore deux autres points de rencontre éloignés à l'infini de Torigine.

En effet , lorsqu'on remplace x par - et qu'on égale les va-

leurs de y tirées de la première et de la seconde des équations proposées , on obtient Téqualion du quatrième degré ,

Les quatre racines de-cette équation sont 3*=0, donc 3=0, z = { et s = A,

et commet? ='9 nous aiurons les quatre solutions des équa- ^

tîons proposées:

3 = 0, a? = — Qo, y = 0,

«= é» aî = 5, y = î,

468 RÉSOLUTION NUMERIQUE DE DEUX iQUATIONS

Cas particuliers.

588. La résolution de deux équations du second degré à deux inconnues, se réduit dans certains cas particuliers à la résolution d'une équation bicarrée ou d'une équation du second degré.

1*^ Lorsque les deux courbes sont concentriques et rapportées à leur centre commun pris pour origine, leurs équations ne contiennent plus de termes du premier degré par rapport aux variables, et Téliminntion d'une variable donnera une équation bicarrée par rapport à l'autre variable.

Exemple. 1 6y* — l Gxy + 5 x* — 400 = 0 (ellipse) ,

f/— x^ + 16 =0 (hyperbole) ,

Les solutions sont égales deux à deux , mais de signe contraire.

2» Lorsque les deux courbes sont homofocales et rapportées à leur foyer commun, pris pour origine des coordonnées, les deux équations se mettront sous la forme

f+x' = (a'y+b'x+cy; donc ay + bx-\'C=±: [a'y -f- b'x -f- c'),

ou (aTa')y+(ô^^')^ + (^H=^') = 0,

et Ton aura deux équations du premier degré que Ton combinera avec Tune des équations proposées.

Exemple . 3y*— Axy -}-4y — 2x-fl=0 (hyperbole}, y'— 2xy 4-a^ — 3y— 3;r— 1 = 0 (parabole).

S"* Lorsque les deux courbes ont un diamètre commun , et qu'elles sont rapportées à un système de coordonnées obliques, ayant pour axe des abscisses le diamètre commun , et pour axe des ordonnées une parallèle aux cordes , les deux équations ne contiendront la variable y qu'à la seconde puissance, dont Félimination réduira le problème à la résolution d'une équation du second degré en x.

DU SECOND DEGBB. 4G9

Exemple. 2y'— 3a? — 36 = 0 (parabole),

y* + 5a?'— 80 = 0 (ellipse).

4* Si les deux courbes sont semblables et semblablement situées, les termes du second degré dans les deux équations auront les coefficients proportionnels.

Donc, lorsqu'on multiplie Tune des deux équations par un facteur convenable , et qu'on la retranche de Tautre équation , on obtiendra pour reste une équation du premier degré.

Exemple I. y" -|;- 2xy — 3a^ + 6x + i0=0 (hyperbole),

2y' + 4xy — 6a?' — 6y + 37 = 0 (hyperbole) .

S"" Lorsque les deux courbes sont des hyperboles ayant une

même asymptote, et rapportées à celte asymptote commune

comme axe de a?, les deux équations ne contiennent la va-

. riable a? que dans le terme xy , dont Télimination donne une

équation du second degré en y.

Exemple . y' — 4a?y + 6y — 1 0 = 0,

3y' + 2a?y — lOy-f 8 = 0.

Résolution des équations du quatrième degré.

580. La méthode que nous venons d'exposer sert à réduire la résolution des équations du quatrième degré

a?*+aa?*+ôa?'+ea? + d = 0

à la résolution d'une équation du troisième degré.

En effet, si dans Téquation proposée on remplace a?* par y, on arrive à Téquation

y*-f aa?y -f 6y + ^a? + d= 0,

et la résolution de l'équation du quatrième degré est ramenée à la résolution de deux équations du second degré à deux inconnues , que nous pouvons résoudre au moyen d'une équation du troisième degré en X.

Exemple. Soit donnée Téqualion

a?*— • 2a?»— . 8ar»+ 12a? — 4 = 0 , équation qui n'a pas de racines commensurables.

470 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DR DSUX. ÉQUATIONS, BTC.

En posant a:*=y (parabole),

réqualion proposée deviendra

y*— 2â?y — 8y + 12â? — 4=0 (hyperbole).

Ces deux équations sont ramenées h celles de réqualion do troisième degré

X»-hl6X*+6SX — 6i = 0,

qui a trois ncinei» réeUes ,

X = -.8 et X= — 4it.2v/6-

La quantité Af = 4( 1 — A)

est positive pour chacune de ces trois valeurs de X; donc, les deux équations proposées admettent trois couples de sécantes communes et quatre résolutions réelles.

Les équations des sécantes qui correspondent à la deuxièaie et à la troisième racine de Téquation en X, sont :

X = — 4 + 2v/6, et X = — 4— 2v/6,

En cherchant les points d'intersection de ces deux systèmes de droites , on obtient immédiatement les racines de Téquation du quatrième degré

a? = 2±v/2 et x=z — l:±Vâ.

RËSUMÉ.

384* Condition pour qu'ufie équaUon du second degré à deux variables se réduise à deux équations du pMipier. — SS5. Rédiictvin de deux équations du second degré à deux inconnues, à une équation du. troisième degré. — 386. Indication de divers cas. — 387. Esemples. —

' 388. Ca3 particuliers. — 389. Résolution d'une équation du quatrième degré.