QUELQUES EXEMPLES D'ARTIFICES ALGEBRIQUES

300. Dans un grand nombre de cas , si Ton suivait sans modification les règles générales du calcul , on serait conduit à des opérations compliquées qui dépasseraient quelquefois la patience du calculateur. L'habileté du géomètre consiste à trouver dans la forme particulière des questions qu'il traite l'occasion de simplifier les opérations rf.de parvenir plus immédiatement aux conclusions qu'il a en vue. De pareilles modifications exigent une grande habitude de l'analyse et souvent même un véritable génie d'invention ; et on comprend qu'il ne nous est pas possible de donner de règles générales sur les artifices de ce genre. Nous nous bornerons à choisir, parmi les calculs algébriques les plus célèbres , quelques exemples dans lesquels d'illustres géomètres ont poussé à un haut degré la dextérité analytique dont nous parlons.

Problème. On donne un polynôme du second degré à. trois va^ riahleSy

[1] A^ + Ay + AV + 2By-s + 2B'a:2 + 2B"a?y + 4- aCa? + 2CV + 2C"5 + D,

et Von demande de remplacer x, y, z^par trois variables nouvelles^ liées aux premières par les relations

y^^ + P'v + fw, xî = YW + y'^ ~h y"^*

en s* imposant les conditions suivantes : 1° Le polynôme prendra la forme

472 EXKMPLBS d'artifices ALGÉBRIQUES.

2» Les neuf coefficients a, a', a", p, p', p'', y, y'» Y^ *«ron^ /iV« jKir les relations

L^J < a,' -I- pp' + n' =0,

««"-I-PP"+t/=o,

Ce problème se présente en géométrie analytique lorsque Ton veut simplifier une équation du second degré , en changeant les directions des axes des coordonnées, sans qu'ils cessent d'être rectangulaires.

En multipliant respectivement les équations [1] par a, p, y« et les ajoutant ensuite ipembre à membre, on a, d'après les équations [4]

« = oa? 4* Py + Y^ »

et on trouvera d'une manière analogue

Par conséquent, pour que les polynômes [1] et [3] soient équivalents, on doit avoir, en identifiant les termes du second degré

G(fltx + py + Y3)« 4- GX^'œ + p'y + ^zf + G V^ Wv + y'^)' = Aa;« + Ay + AV + 2Bys + ^li'xz + <lWxy ,

ce qui donne les six équations suivantes :

Ga«4-GV*+GV«=A,

Gp« + G'p'«+GT'=A',

[6] Gy« + GY*+GY*=A",

Gap +G'a'p'4-GVp"=B",

GaY+G'a'Y'+GVY=B',

GPy+G'PY+GTy"=B.

Multiplions respectivement la première , la quatrième et la

EXEMPLES d'artifices ALGÉBRIQUES. 473

cinquième équation du groupe [5J par a, p, y, et ajoutons-les ensuite y il viendra

[À] Ga=rAa + B"P + BV

Si l'on multiplie la seconde , la quatrième et la sixième équation du même groupe par p, «, y, on aura de même

[A] Gp = A'p + B"ot + Br,

et Ton trouvera de même .

[A] GY = A''Y + B'a + Bp.

Ces trois équations ont lieu entre «, p, y; elles sont du premier degré , donc on ne pourra en tirer qu'une seule valeur de chaque inconnue , à moins que le dénominateur commun ne soit nul. Or, on satisfait évidemment à ces équations en posant

Celle solution n'étant pas admissible à cause des relations [4], il faut que le dénominateur soit nul, et Ton doit avoir, par* conséquent,

(A— G)(A'— GJ(A"— G)-B«(A— G)-B"*(A"— G,— B'*(A'— G)

équation du troisième degré à laquelle G doit satisfaire.

En multipliant la première , la quatrième et la cinquième équation du groupe [6], respectivement par a', p', y, on obtiendrait

[B] • GV=Aa' + BT + BY,

et d'une manière analogue

[B] G'P' = A'P' + BV + By',

[B] GY = AV-hB'*' + Bp',

et en raisonnant comme plus haut , on prouvera que le dénominateur des valeurs des inconnues a', p', y', déduites de ces dernières équations, doit être égal à zéro, et que Ton doit avoir