ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUS
et l'on doit avoir
ou, en chassant le dénominateur 300
5X1500 — 5a? = 300a:, équation du premier degré, d'où Ton tire,
On remettra au porteur du billet 1475 fr. 41.
Problème II. On a deux lingots d'argent; aux titres de 0,775 et 0,940 ; quel poids doit-on prendre de chacun d'eux pour former 25»' d'alliage au titre de 0,900?
Soit X le nombre de grammes que Ton doit prendre dans le premier lingot et par conséquent 25 — a: ce que l'on doit prendre dans le second.
Le poids de l'argent contenu dans x grammes du premier lingot est a* X 0,775.
La quantité d'argent contenue dans 25 — x grammes du second lingot est (25— x) X 0,940.
La quantité totale d'argent contenue dans l'alliage est donc
Puisque le titre de l'alliage est 0,900, la quantité totale d'argent qu'il contient dans 25«' doit être égale à 25 X 0,900, et l'on doit avoir, par suite,
équation du premier degré, dont on déduira a: = 6«%0606 .. Donc on doit prendre :
du premier lingot 6«',0606 ,
du second lingot 188',9394.
Problème III. Paris et Rouen sont distants de 137 kilomètres, le charbon coûte à Paris 4 fr. 25 les cent kilogrammes, et à Rouen i fr. 75; les frais de transport étant j par tonne et par kilomètre^
54 ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNI INCONNUl.
de 0^,09, quel est le point du chemin pour lequel il y a avantage égal à faire venir le charbon de tune ou l'autre ville?
Soit X la distance du point cherché à Paris, et, par conséquenty 137 — x la distance à Rouen.
Une tonne de charbon achetée à Paris coûte 42^',50. Les frais de transport à la distance x^ sont x X 0,09.
Le prix de revient d'une tonne achetée à Paris est donc
Une tonne achetée à Rouen et transportée à la distance 137 — X coûtera de môme
on aura donc l'équation
42,50 +ir X 0,09 = 47,50+ (137— ic)0,09,
d'où Ton tirera x = 96S2777 . . .
donc, distance de Paris. . . . 96^,278 ,
distance de Rouen 40^,722 ,
prix de la tonne 51^16*'i.
Remarque sur la mise en équation des problèmes.
52. Mettre un problème en équation, c'est exprimer, par une ou plusieurs équations, les condilions imposées par son énoncé aux quantités inconnues. Il est impossible de donner, pour y arriver, une règle complètement générale. Nous nous bornerons à l'indication suivante.
En examinant, avec soin, l'énoncé d'un problème, on verra presque toujours qu'il s'agit pour le résoudre de rendre certaines quantités égales entre elles. Après avoir reconnu quelles sont ces quantités, on cherchera les formules qui en expriment les valeurs, et en égalant ces formules, on obtiendra les équations demandées. Reprenons, par exemple, les trois problèmes traités plus haut.
Problème I. Trouver Tescomple de 1500 fr. payables dans
iQUÀTIONS DU PRKMIBB DBGBÉ A UNB nfCOmfUB. 55
cinq moïB, c'est trouver une somme qui, placée pendant cinq mois et ajoutée à ses intérêts pendant ce temps, devienne égale k 1500 fr.
Problème H. Allier de l'argent à 0,775 avec de Targeni à 0,940 de manière à former 25 grammes d'alliage à 0,900, cest faire en sorte que la quantité totale dargent contenue dans les 25 graïQmes d'alliage soit égale à 0^900X25.
Problàmb III. 11 faut faire en sorte que le prix d'une tonne de charbon transportée de Paris au point cherché soit égal au prix d'une tonne transportée de Rouen au même point.
Rbmârque. Dans presque tous les problèmes relatifs à des nombres, la mise en équation n'est, pour ainsi dire, que la traduction, dans la langue algébrique, de l'énoncé proposé en langage ordinaire. Il peut arriver que l'énoncé ne paraisse pas pouvoir inimédialemenl se traduire en formule^ mais en s'attachant au sens plutôt qu'aux paroles, on ne trouvera presque jamais de difficulté. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes indiqués plus loin.
RÉSUMÉ
43. Ce que Ton nomme identité. — 44. Définition du mot équation ; membres d'une équation; inconnue ou inconnues dans une ou plusieurs équations ; ce que c*est que résoudre une ou plusieurs équations. — 45. On peut ajouter un même nombre, positif ou négatif, aux deux termes d'une équation sans altérer les conditions qu'elle impose aux inconnues. On ne dit rien de plus en disant que ion peut retrancher un même nombre des deux termes d'une équation. Ce que c'est que faire passer un terme d'un membre dans lautre. — 46. On peut multiplier les deux termes d'une équation par un même nombre sans altérer les conditions qu'elle impose aux inconnues. 11 est essentiel que ce nombre ne soit pas nul. On peut d'après cela chasser les dénominateurs d'une équation. On peut diviser les deux membres d'une équation par un nombre m ;
cela revient à les multiplier par -; il est essentiel que m ne soit pas nul.
-«- 47. Pour que les deux équations puissent être substituées l'une à l'autre il faut que chacune d'elles entraîne l'autre ; par exemple, on ne peut pas remplacer A = B par A'=B", qui en est une conséquence , parce que Ton pourrait avoir A"=B« sans que A fût égal à B. — 48. Définition de l'équation du premier degré. — 49. Résolution de l'équa-
56 AQUATIOlfS DU PIIMTER DEGRÉ A rilE I!COON!fUI.
lion da premier degré à une inconnue. — oO. Exemples d*éqaat ions qui n'étant pas do premier degré arrivent à l'être par quelques transformations, soit en élevant les deux membres au carré , soit en changeant d'inconnue, il faut remarquer que lorsqu'on a élevé les deux membres au œrré le résultat a besoin d'être vérifié. — SI . Solution de quelques problèmes. — S2. Remarque sur la mise en équation des problèmes.
EXERCICES
I. Deux vases de capacités v et v' contiennent chacun un mélange d'eau et de vin, dans le rapport de m à n pour le premier, de m' à n' pour le second. Quelle capacité doit-on donner à deux autres vases égaux entre eux pour que, les remplissant à la fois, l'un dans v, Tautre dans t?', et versant dans chacun d'eux ce qui a été pris dans l'autre, la proportion de Teau au vin devienne la même dans les deux vases ? Montrer à priori que le résultat doit être indépendant de m, n, m! et n'.
n. En adoptant les règles indiquées chapitre i, exercice vn, pour la fixation du prix des eaux-de-vie , trouver combien on doit mélanger d'eau-de-vie à a^ le litre avec de Teau-de-vie à b^ pour former 1 litre d'eau- de-vie à c^
m. Les aiguilles des heures, des minutes et des secondes sont sur le chiffre 12 du cadran : après combien de temps l'aiguille des secondes divisera-t-elle en deux parties égales l'angle formé par les deux autres?
IV. Trois mobiles parcourent une même ligne droite, d'un mouvement uniforme, avec des vitesses v, v' et v"; ils sont actuellement à des distances a, a\ a" d'un point 0 de cette droite dont ils s'éloignent tous les trois; après combien de temps le premier sera-t-il aux trois cinquièmes de la distance qui sépare les deux autres?
V. Deux personnes A et B ont fait un pari de 12' ; si A gagne, il sera trois fois aussi riche que B; s'il perd, il ne sera que deux fois aussi riche. Quelles sont leurs fortunes actuelles ?
VI. Un rectangle dont la largeur est égale à deux fois la hauteur est tel que si chaque côté est augmenté d'un mètre, sa surface est augmentée de neuf mètres carrés. Quels sont ses côtés?
^ ÉQUATIONS DU PaiMIBR DR6BÈ A UNE INCONNU!. 57
Vil. Trouver Irois termes d'une progression par quotient qui surpassent également les nombres 3, 5 et 8.
Vin. Un parallélipipède rectangle étant donné, déterminer le côté d'un cube tel que les surfaces des deux solides soient dans le même rapport que leurs volumes.
IX. Trouver une proportion dont les quatre termes surpassent également quatre nombres donnés a, 6, c, d.
