CHAPITRE V

RËSOLUTIOIV D'UN NOMBRE QUELCOIVQUE D^ËQUATIONS DU PRESUEH degré entre un nombre EGAL D'IN- CONNUES.

K3. On peut, en général, délerminer la valeur d'un nombre quelconque d'inconnues, lorsque Ton connaît entre elles un nombre égal d'équalions du premier degré. C'est ce que nous allons montrer dans ce chapitre. Mais nous établirons préalablement quelques propositions relatives aux systèmes d'équations.

On entend par systèrne d'équations, l'ensemble de plusieurs équations qui doivent être satisfaites h la Tois. Si chaque équation ne contenait qu une seule inconnue, on les résoudrait séparément et il y aurait autant de problèmes distincts que d'équations à résoudre. Mais lorsque les inconnues entrent à la fois dans plusieurs équations, la question devient plus difficile.

54. On dit que deux systèmes d'équations sont équivalents, lorsque les valeurs des inconnues qui satisfont à Tun et à l'autre sont absolument les mêmes ; ou, en d'autres termes, lorsque les équations de chacun des systèmes entraînent celles de l'autre.

Lorsque deux systèmes sont équivalents, on peut les substituer l'un à l'autre.

55. Théorème I. Étant donné un tysième d'équations^ on peut substituer à Vunfi quelconque d'entre elles l'équation obtenue en ajoutant les équations proposées membre à membre.

Ainsi, le système d'équations ,

est équivalent à A + B4-C = A'4-B' + C'

II est évident, en effet, que le premier système entraine le second. Réciproquement, le second entraîne le premier, car si B et C sont respectivement égaux h B' et C, B + C sera égal à B'-f C, et B+C augmenté de A ne pourra être égal à B' + C augmenté de A\ que si A est égal à A'.

La démonstration est indépendante du nombre des équations. Il va sans dire que l'on peut appliquer le résultat précédent à une partie seulement des équations qui composent un système, et qu'on a le droit , avant d'ajouter les équations membre à membre , de les multiplier par des nombres quelconques , ce qui (45) n'altère pas les conditions qu'elles imposent aux inconnues.

86. Théorème II. Lorsque l'une des équations d'un système est résolue par rapport à une inconnue , on peut remplacer cette inconnue par sa valeur dans les autres équations et ramener ainsi le système proposé à un autre, ayant une inconnue et une équation de moins.

Ainsi le système,

où B, B', C, C, D, D' renferment d'une manière quelconque les quantités inconnues, et A peut renfermer toutes les inconnues excepté x , est équivalent à un autre , composé de l'équation a? = A, et de trois autres obtenues en remplaçant X par la valeur A, dans B=B', C=rC', D=D'.

Uéquation a?= A faisant, en effet, partie des deux systèmes , quel que soit celui des deux qui soit satisfait, on pourra remplacer, dans les équations restantes, x par A ou A par x et passer par là du premier système au second ou revenir du second au premier, en sorte que chacun des deux systèmes entraîne l'autre et qu'ils sont équivalents.

Remarque. Lorsque, dans les équations B=B', C=C', D—D', on substitue à x sa valeur A , cette inconnue disparaît des.équations. On dit alors qu'elle est éliminée; en général , éliminer une

HÂsoLUTiOiN d'Équations du premike dkgrA. 6i

quantité entre deux ou plusieurs équations , c'est combiner ces équations de telle manière que la quantité considérée disparaisse du résultat.

Résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues.

57. Si j? et y désignent les deux inconnues, les équations ne doivent contenir que trois sortes de termes :

Des termes du premier degré en x , Des termes du premier degré en y , Des termes tout connus.

On peut faire passer, dans le premier membre, tous les termes en â; et y et réunir, par Taddition des coefficients, ceux qui contiennent la même inconnue. Si Ton fait de même passer dans le second membre tous les termes connus et qu'on les réuûiscs en un seul, ces équations prendi*ont ainsi la forme

[1] aX'\-by='C

[2] alx + Vx = c'

a,h^a\ b'jC, c\ désignant des nombres connus. On peut remplacer l'équation [l] par

a ' el le système devient

[2] dy-\-Vy = c'

mais, S0U8 cette forme, on voit (S3) qu'il équivaut au suivant :

La seconde de ces deux équations ne renferme qu'une inconnue y, par rapport à laquelle on peut la résoudre, el \j une fois déleriiiiiié, la première fera connaître la valeur de x.

62 RÉSOLUTION D*iQOATl01IS DU PREMIER D8GRE.

Si Ton multiplie les deux membres de Féquation [4] par a , elle délient

a'{c — by) '^ab'y = c'a ,

ou (ab' — a'b)y = &a — a'c ,

ou encore

Par la substitution de celle valeur de y , l'équation [3] devient

ab' — g' 6 caV — ca'b — bc'a + ba'c

^"" a ■" a{ab'—a'à) '

ou

caV'—hc'a ch' — c'b

••^J ^ "" a[sib'— a'b) "" ab' — olb"

Les formules [5] et [6] faisant connallrc les valeurs de x et de y y les équations proposées sont résolues.