Considérons d'abord une seule équation à une inconnue

Supposons qu'en la résolvant on ait trouvé, pour a?, une valeur négative — a ; cela signifie que l'on a

a(-a) + 6 = tf'{-.a) + 6', c'est-à-dire b — aoi = V — a'a;

et (jue, par conséquent, x = + « est solution de l'équation

b — ax=^V — a'x.

Ainsi, tonte solution négative d'une équation du premier degré à une inconnue, étant prise positivement, satisfait à une équation que l'on obtient en changeant dans la première, le signe des termes où figure l'inconnue. Or, il arrive souvent.

comme nous allons le montrer, que cette nouvelle équation correspond à un problème peu différent du proposé, et quelquefois à ce problème lui-même, entendu dans un sens plus général; on obtient alors la solution du problème modifié ou généralisé, en prenant, avec le signe +» la valeur négative trouvée pour l'inconnue. Une pareille remarque ne peut être développée d'une manière générale, il est essentiel d'étudier, à part, son application dans chaque question particulière. C'est ce que nous allons faire dans les problèmes suivants.

67 bis. Problème I. Deux mobiles qui suivent une ligne droite^ partent de deux points A et B, situés à une distance d l'un de tautrey et marchent ^ dans le même sens, avec des vitesses y et v', Après combien de temps se rencontreront^ils ?

Soit a? le temps cherché, le premier mobile, dont la vitesse est v, parcourt un espace v dans Tunité de temps, et par suite, dans le temps x il parcourra vx ; le second, pendant le même temps, parcourt l'espace v^x ; or, il faut, pour qu'ils se rencontrent, que le premier ait parcouru un espace d de plus que le second ; on doit donc avoir

vx — v^x=d,

d'où Ton déduit x= /.

Si v est moindre que v', cette solution est négative ! pour l'interpréter, remarquons (67) que, prise positivement, elle satisfait à réquation

v'x — vx=^d.

Or, cette équation exprime que le chemin parcouru par le mobile B, surpasse, de d, celui parcouru par le mobile A, condition qui répond évidemment à la question suivante :

En supposant que les deux mobiles soient en marche depuis un temps indéfini, combien y a-t-il de temps qu'ils se sont rencontrés ?

Si donc on veut donner cette extension au problème, la valeur négative de x exprime un temps déjà écoulé.

Problème II. Les âges de deux individm sont a et b, après

SOLUTIONS DES K^iJATlONS PU PREMIER DEGRÉ. 77

combien de temps l'dye du premier sera-t^il double de celui du second?

Si X est le temps cherché, réquation du problème est évidemment

el Ton en dédait ar = a — 2é.

Si a est moindre que 2 A, cette valeur de x est négative ; prise positivement, elle satisfait alors (67) à Téquation

qui correspond évidenunent à la question suivante :

Combien y a-t-il de temps que Tàge du premier individu était double de celui du second ?

Problème Ui. On donne sur une droite^ deux points A e^ B, k premier situé à gauche d'un point 0 à une distance a, elle second situé à droite à une distance b, déterminer sur cette ligne^ un troisième point X, tel qu'en prenant le milieu H de BX, fuis le tiers de kM à partir de A, le point ainsi déterminé coïncide avecO>

On a évidemment, en nommant x la distance OX,

U faut que AO ou a soit le tiers de AM, et que, par conséquent y

d'où Ton déduit ar = 4a — é.

Si 4a est moindre que fr, la solution est négative ; prise positivement, elle satisfait donc (60) à Téquation

^ ce qui est précisément Téquation à laquelle on est conduit ,

en supposant le point X à une distance x à gauche de 0 ; la valeur négative de x doit donc, dans ce cas, être portée dans un sens opposé à celui que Ton avait supposé dans la mise en équation.

68. 11 ne faut pas croire que les solutions négatives s'interprètent toutes, aussi naturellement que les précédentes. On ne doit pas même affirmer, d'une manière générale, qu'une valeur négative trouvée pour un temps à venir, exprime un temps passé, ni que les longueurs négatives à porter sur une ligne, doivent toujours être comptées en sens opposé à celui qui correspond aux valeurs positives. 11 en est cependant ainsi dans la plupart des cas, et nous allons en donner la raison.

69. Supposons que x désignant le temps qui doit s'écouler jusqu'à un certain événement, on ait trouvé pour l'équation d'un problème ,

Si, au lieu de chercher le temps qui doit s'écouler à partir de répoque actuelle, on avait cherché le temps qui doit s*écouler à partir d'une époque antérieure de ^ années ( c'est ce qui aurait lieu, par exemple, si l'on prenait pour inconnue la date de l'événement ) , en nommant Xi ce temps , on aurait évidemment ,

X=^Xi — t ^

et, par suite, au lieu de [1] ,

[2] B + k(xi — 0 = B' -f k'iXi— t) ,

qui serait l'équation du problème, si l'on prenait Xi pour inconnue. Si la valeur de xx^ que Ton en déduit, est moindre que t et égale , par exemple , à ^ — a , on aura , en la substituant dans [2]

par où Ton voit que l'équation [1] a pour solution

Une solution négative a? = — « , trouvée pour Téquation [l3 ,

SOLOTIONS DIS iQUÀTIOffS DO PREMIER DlGRÀ. 79

signifie donc qne FéTénement est postérieur de ^ — « à une époque antérieure de t à l'époque actuelle , c'est-à-dire qu*il précède de a Tépoque actuelle. .

70. Le raisonnement précédent n'est pas tout à fait général : il suppose que l'équation [2] qui convient à une époque postérieure à l'époque actuelle s'applique aussi aux époques antérieures; or cela pourrait ne pas avoir lieu.

71. Supposons maintenant que a? désignant la distance h porter sur une ligne , à partir d'un point donné , et dans une certaine direction , à droite par exemple , on ait trouvé , pour équation d'un problème »

[1] îi + kx = B'+A'x.

Si au lieu de chercher la distance du point inconnu à Torigihe donnée , on avait cherché sa distance Xi à une origine située à gauche de la première, à une distance d, on aurait eu

a?i=d-|-a: ou* a? = a?i — d, et , par suite , au lieu de l'équation [1] ,

[2] B+M^i—d)=B'+AXXi—d).

Si cette équation fournit pour Xi une valeur positive moindre que d , que je représente par d — « , le point cherché sera évidemment à gauche de 0 et à une distance « de cette origine ; mais en substituant, dans [2] , à oti sa valeur d — a , on a

B — Aa = B'-A'a,

d'où il résulte que l'équation [1] a pour solution a?=— a. Une solution négative a?= — « trouvée pour Féquation [1], signifie donc que le point cherché est situé à gauche de 0 et à une distance a de cette origine.

72. Nous remarquerons, comme (70) , que le raisonnement précédent n'est pas tout à fait général , et suppose que Téqua^ tion [2] , qui correspond aux points situés à droite de 0, s'applique aussi aux points situés à gauche ; or cela n'a pas toujours lieu , et nous en donnerons un exemple. ^

PROBLin. Ui$ chemin de fer prend 0^,10 jpof tanne et par kilo^

80 SOLUTIONS D£S ÉQUATIONS DU PRKMIER PEGRE.

mètre pour le transport des marchandises; on payç , en outre , un droit fixe de 3^75 par wagon de 2000 kilogrammes : à quelle distance peut-on transporter 50 tonnes pour 3 fr. ?

60 tonnes correspondent à 26 wagons; le droit fixe à payer est donc de

et, en outre, pour le transport à la distance Xj

0,10X50Xa?;

l'équation du problème est donc

3,75X26+0,10X60Xa?=3;

et en la résolvant on trouve pour x une valeur négative x= — 18,16 qui ne signifie ici absolument rien.

On peut voir, en effet, que dans ce cas, le raisonnement (71) est en défaut. Si, eh effet, on suppose que les cinquante tonnes devant être portées vers la droite, on prenne pour inconnue la distance Xi à un point situé, vers la gauche, à une distance d du point de départ, on aura x=Xi'—d , et l'équation du problème deviendra

3,76X26 + 0,10X60X(a?i— dj=3,

mais cette équation ne convient nullement au cas du transport effectué vers la gauche; dans ce cas, en effet, le chemin parcouru doit être représenté par d— a?i, et il faut prendre, pour équation du problème ,

lolroduclion des nombres négalifs dans renoncé d'un problème*

75. Il est quelquefois avantageux d'introduire des nombres négatifs dans les données mêmes d'une question. Nous nous bornerons à montrer, par un exemple fort simple , comment on peut y être conduit, et de quelle nature est l'avantage qu'on y trouve.

Reprenons le problème résolu (67).

Deux mobiles suivent la droite kk' en marchant dans le même

sens avec des vitesses v et y\ l'un est en K^ Vautre en A' ; après combien de temps se rencontreront-ils?

En nommant x le temps inconnu , et d la distance AA', on a l'équation (67)

vx — v'x=d.

Cette équation fournit la solution du problème , lors ménic que V est moindre que v\ pourvu que Ton regarde (67) les valeurs négatives de x comme représentant un temps déjù écoulé.

Pour généraliser encore davantage , supposons que les deux mobiles ne marchent pas tous deux dans la direction Àii' : ou peut considérer trois cas distincts :

1* Le mobile A marche vers la droite et le mobile A' vers lu gauche;

Tëquation du problème est alors, comme on le voit facilement)

vx-^-v'x^^d; ^ A marchant vers la gauche , A' marche vers la droite.

Les mobiles ne se rencontreront jamais, mais en nommant x le temps écoulé depuis leur rencontre, on aura

vx-^-v'x^^d'^

3* Enfin , si Ton suppose que les mobiles marchent vers 1» gauche , on aura

v'x — vx=d.

Les équations relatives aux quatre cas sont donc , en résumé,

vx'^v'x=d quand A et A' marchent vers la droite, vz -f t?'a?s=d A vers la droite, A' vers la gauche,

va? -j-t/a?=d A vers la gauche, A' vers la droite,

X désigne un temps déjà écoulé , v'X'^vxssd A et A' vers la gauche.

82 SOLUTIONS DES ÉQUATIONS OU PREMIER DEGRi.

Or, ces quatre équations peuvent se réduire à une seule , ce qui est évidemment un avantage, si Ton convient de représenter par des nombres négatifs — t? , — v' les vitesses dirigées vers la gauche; d'après cette convention, il faut, en eflet, remplacer dans la seconde des équations ci-dessus, v' par — v'; dans la troisième, v par — v\ dans le quatrième, v par — v, v' par — v'\ et de plus , dans la troisième , où l'inconnue désigne un temps déjà écoulé , a? par — x\ les quatre équations deviennent par ces substitutions :

vx — v^x=zd\

en sorte que la formule

que Ton en déduit, convint à tous les cas.

Solutions négalives des équations à deux inconnues.

74. Nous n'avons considéré , jusqu'à présent , que les solutions négatives fournies par une équation à une inconnue. Le cas de plusieurs équations donne lieu à des remarques entièrement semblables.

Supposons qu'en résolvant le système

[1] ax+hy=c,

o!x-\'Vy=^c\

on ait trouvé, pour l'une des inconnues, ou pour toutes deux, des valeurs négatives. Soient, par exemple, a?=a, y= — p. Ces valeurs satisfaisant aux équations [1] , on aura

aa — 6p ={?, a'a— yp=c';

et, par conséquent, les valeurs â7=a, i/=p, satisfont au système

ax — by=Cy

à!x — Vy:=c\ Ainsi donc : en prenant positivement la solution négative

y= — p> on satisfait à un système qui diffère du proposé par le changement de signe des termes en y. On Terrait de même que si la valeur de x était négative, on pourrait la prendre avec le signe + , pourvu qu'on change&t dans les équations proposées le signe de tous les termes en x.

Les équations nouvelles , auxquelles satisfont les valeurs négatives des inconnues prises positivement, correspondent quelquefois à un problème peu différent du proposé ou à ce problème lui-même, entendu dans un sens plus général ; mais cette remarque , comme dans le cas des équations à une inconnue ne peut être développée que sur des questions particulières.

Considérons, par exemple, le problème suivant.

78. Problème. Un vase de capacité v est rempli dans un temps ^ par n robinets j versant chacun la même quantité deuu , et par la pluie tombée sur un toit dont la surface est s. Un autre vcue de capacité y' est rempli dans le temps V par n' robinets semblables aux précédents , et par la pluie tombant sur un toit s' avec la même intensité que sur le toit s. Déduire de ces données la quan-tiié d'eaUy x, versée par chaque robinet dans Funité de temps et la quantité y versée par la pluie pendant chaque unité de temps , sur chaque unité de surface de toit.

Un robinet versant, dans Tunité de temps, une quantité d*eau égale à x ; dans le temps ^ n robinets verseront nxt.

La pluie versant dans Tunité de temps, une quantité d*eau y sur l'unité de surface, versera, dans le temps tj sur s, une quantité d'eau syt; on aura donc

[1] nxt-^-syt^v.

En exprimant que le second bassin est rempli dans le temps fj on aura de même

[2] n'xf+sY=^^\

et les équations [1] et [2] permettront de calculer x et y.

Supposons maintenant, qu'en les résolvant, on trouve pour x

une valeur positive a , et pour y une valeur négative — p. Ù

faudra en conclure (74) que les valeurs â? = G(, y=:p satisfont

aux équations

nxt — syt =v ,

n'xf—^yfrsv^.

84 SOLUTIONS DBS ÉOUATtONS DU PREMIER DEGRÉ.

Ces équations correspondent à un problème qui diffère du proposé, en ce que la pluie doit être remplacée par une cause qui enlèv% au bassin une quantité d'eau proportionnelle au temps et à la surface s ; par exemple , par Tévaporation du liquide.

Si, au contraire, on trouvait pour j? une valeur négative, cette valeur, prise positivement, satisferait aux équations

syt — nxt =t? ,

Ces équations correspondent à un problème différant du proposé , en ce que les robinets qui versent de l'eau , doivent être remplacés par un nombre égal de causes qui en enlèvent , par exemple, par des orifices ou des pompes, enlevant une quantité X d'eau par imité de temps.

76. Les remarques faites (09, 71} au sujet des valeurs négatives trouvées pour un temps ou pour une longueur, s'appliquent sans modification au cas où les équations contiennelit plus d'une inconnue.

RÉSUMÉ

6(>. Les solutions négatives d'un système d*équations sont des nonobres négatifs qui, substitués aux inconnues dans ces équations, et traités conformément aux conventions, rendent le premier membre égal au second. — 67. Toute solution négative d'une équation du premier degré à une inconnue étant prise positivement, satisfait à une autre équation que Ton obtient en changeant dans la première le signe des termes qui contiennent l'inconnue. Cette nouvelle équation correspond quelquefois an problème proposé entendu dans un sens plus général. — 67 bis, Pro« blême des courriers, interprétation de la solution négative par une légère extension de Ténoncé. Interprétation de la solution négative dans le problème suivant : dans combien de temps l'âge d'un individu serat-il le double de celui d'un aulre individu? Interprétation de la solution négative dans un problème de géométrie. — 68. On remarque que toutes les solutions négatives ne s'interprètent pas aussi naturellement que celles dont il vient d'être question. — 68. On prouve en générai que si Ton prend pour inconnue le temps qui doit s'écouler jusqu'à un certain événement , la solution négative doit être comptée dans le passé. — 70. Le raisonnement n'est pas tout à faitgéné«id. — 71. Quand on

SOLimONS DBS iQUÀTIONS DU PRBMIKR DSGRft. 85

prend pour inconnae la distance à porter sur une ligne, à partir d'tin point donné, les solutions négatives doivent être portées dans une d reotion opposée à celle qui correspond aux solutions positives. -— 72. Le raisonnement n'est pas complètement général ; on donne un exemple d'un cas dans lequel il est en défaut. — 75. On introduit quelquefois des nombres négatife comme représentation de données dans renoncé d'un problème. Introduction de vitesses négatives dans le problème des courriers. — 74. Les solutions négatives d'un système d^équations étant prises positivement satisfont à un autre système qui diffère du premier par le changement de signe des termes qui contienn^t Tinoonnue dont la valeur est négative. — 75. Interprétation des solutions négatives dans un problème à deux inconnues. — 76. Les remarques faites (68 et 71) s'appliquent aux équations à plusieurs inconnues.

I. On donne des points A, B, 6, D, situés sur une ligne droite h des distances a, b, c, d, d'un point 0 de cette droite ; Irouver sur cette droite un point X tel , que sa distance à un point quelconque M de la droite donnée soit la moyenne des distances de H aux points A, B, C, D. Montrer qu'à Taide de conventions convenables, on peut résoudre le problème par une seule formule, quelles que soient les positions de A, B, C, D, à droite ou à gauche de 0.

n. On donne les deux bases a, b d*un trapèze et sa hauteur A. Calculer la hauteur du triangle obtenu en prolongeant les côtés jusqu'à leur rencontre ; interpréter la solution quand elle est négative.

m. Inscrire un rectangle de périmètre donné dans un triangle dont la base est b et la hauteur A.

IV. n pierres sont rangées en ligne droite à dix mèlres de distance les unes des autres. Déterminer, sur cette droite , la position d'un point X tel qu'il y ait m fois plus de chemin à faire pour transporter, successivement, chaque pierre au point X que pour les transporter à la place occupée pq^ la première d'entre elles. On supposera, dans les deux cas, que l'on parte de cette première pierre. Si la solution est négative, est-il possible de l'interpréter?

86 SOUmONS DIS tQUATIONS BU PRIMIIR BIGRÉ.

V. Deux triangles rectangles ont leurs côtés dirigés suivant les mêmes droites et représentés par a^h^a\V\ calculer les perpendiculaires abaissées sur les côtés, du point d'intersection des hypoténuses , et discuter les différents cas jqui peuvent se présenter.