CHAPITRE VIII

Résolution de l'équation du second degré.

8S. Une équation à une inconnue est du second degré quand elle peut être mise sous la forme

[1] aûci^'\'bx-\'C=sO

X désignant Tinconnue et a, 6, c des nombres donnés.

Pour résoudre Téquation [l] , multiplions ses deux membres par 4a , ce qui est permis (46) , pourvu que a ne soit pas nul , et faisons passer iac dans le second membre, nous obtiendrons

4a*a?'+ 4abx = — 4ac.

Si nous ajoutons 6* aux deux membres de cette équation, elle devient

ia*x*-\'iabx-\-b^=:b*~-'4ac ;

le premier membre étant , comme il est facile de le vérifier, le carré de 2aa?-j-ô> cette équation peut s'écrire

ce qui équivaut à

2(W?-j-6=v^Ô*— 4ac,

équation du premier degré, dont on déduit

[2] a,=zH:^lizi2£.

86. Remarque I. La formule [2] fournit deux valeurs distinctes de X , car Texpression ^b^ — iac représente, indifféremment, deux nombres égaux et de signes contraires. Si par exemple

6*— 4ac est égal à 9, yjl^^iac est égal à + 3 ou à — 3. On

ÉQUATIONS DO SECO.ND DBQRi. 95

indique, en général, celte double valeur du radical en écrivant la formule [2] de la manière suivante

et l'on sous-entend alors, que +v/'6'— iac représente la valeur positive du radical et — y/t^ — Aac sa valeur négalive.

Les solutions d'une équation sont appelées ses racines : on peut donc dire , d'après ce qui précède , que Téquation du second degré a deux racines xf et ûd*^ exprimées par les formules

u — b — v^y — Aac

87. Rbmârqub II. Si ft*— 4a<? est négatif, \/b^— Aac ne représente , d'après nos conventions , aucun nombre positif ou négatif, et l'équation proposée n'admet pas de solution. Cependant on dit alors qu'elle a deux racines imaginaires exprimées par la formule [2].

On désigne en général sous le nom d'expression imaginaire la racine carrée d'un nombre négatif. Il ne faut attacher à cette locution aucune idée relative à la mesure des grandeurs. Une expression imaginaire, semblable en cela à un nombre négatif, ne représente aucune grandeur ; mais , de même que les opérations faites sur les nombres négatifs, les opérations relatives aux expressions imaginaires reçoivent , conventionnellement , un sens , et deviennent un' moyen précieux de généralisation, la première de ces conventions consiste en ce que le carré de

l'expression v^— A est — A ; pour définir les autres opérations, on convient d'appliquer aux expressions imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour les quantités réelles.

Nous reviendrons, du reste, dans un chapitre spécial, sur la théorie des nombres imaginaires.