En résumé, l'équation

admet quelquefois deux solutions , quelquefois une seule , et quelquefois enfin n'en admet aucune. On dit cependant qu'elle en admet toujours deux qui peuvent être réelles et différentes, réelles et égales , ou imaginaires. 11 peut sembler puéril , au premier abord , de choisir , ainsi , une forme détournée pour affirmer, dans tous les cas , l'existence de deux racines qui n'en existent pas pour cela davantage. Ces locutions et l'introduction dans les calculs de nombres imaginaires sont cependant une conséquence de l'esprit de généralisation qui règne en algèbre. 11 serait impossible , en effet , d'opérer sur des expressions littérales , si la forme des résultats changeait avec la valeur numérique des lettres. Il faudrait , à chaque instant , diviser et subdiviser les questions pour obtenir les formules correspondantes à telle ou telle hypothèse. L'adoption des nombres négatifs et imaginaires a pour but d'éviter cet in convenient. Dans une question particulière, l'introduction de ces nombres n'aurait aucune utilité , mais dans l'étude générale d'une classe de questions , ils permettent d'exprimer et de démontrer, en une fois , des règles et des résultats qui exigeraient, sans cela, des démonstrations et des formules distinctes.

90. Les racines imaginaires d'une équation de second degré sont, d'après ce qui précède, des expressions de la forme

— B représentant un nombre négatif. Désignons par 6 la racine carrée de ce nombre pris positivement, de telle sorte que

l'expression imaginaire qui représente la racine deviendra

que Ton écrit souvent A + * \/— î •

Remarque. On substitue byf^ à v^6*x(— l)en faisant sortir le facteur V hors du radical, absolument comme s'il s'agissait de la racine carrée d'un produit positif. En général, nous conviendrons d'appliquer aux opérations relatives aux expressions imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour les nombres réels. Ces règles , dans ce cas nouveau , serviront de définitions aux opérations qui sans cela n'auraient aucun sens.

91. La résolution dei équations du second degré a une telle importance , que noua ne craindrons pas de paraître trop mi ^ nutieux en entrant dans quelques détails relatifs aux cas dans lesquels la formule générale se simplifie légèrement.

1* Il arrive souvent que le coefficient a du premier terme est égal à l'unité , et l'on peut d'ailleurs faire en sorte qu'il en sôit ainsi en divisant l'équalion par a. Soit

l'équation ainsi simplifiée la formule générale devient alors

il est indispensable de la savoir par cœur sous cette dernière forme.

2* Si, dans l'équation ax*4- 6^+^=0, le coefficient 6 contient le facteur 2 en évidence et est , par exemple , égal à 2k , les racines de Féquation

eux? + 2to + c = 0 prennent la forme

^U'on ne doit jamais se dispenser de faire cetle simplification lorsqu'elle se présente.

Relation entre les coeificienis et les racines d'une équation du second degré.