L'équation aa^-^-bx-^c^O
a , comme on la vu » deux racines
si on les ajoute , on trouve
et si on les multiplie
la somme et le produit des racines dépendent donc d'une manière simple des coefficients de l'équation.
D'après cela , la solution de l'équation du second degré permet de résoudre le problème suivant. Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit.
Soient, en effet, S la somme de deux nombres et P leur produit , on pourra prei\dre , pour ces deux nombres , les racines de l'éqfuation
[1] a?*— Sa?+P=0,
car la somme de ces racines est S et leur produit P. Il est facile de donner à l'équation [l] une forme qui montre, a priori^ la raison de ce fait, on peut, en effet, récrire
ou . P = a?(S— a?),
et Ton voit que résoudre celte équation, c'est trouver deux nombres X eX^ — x dont le produit soit P ; d'ailleurs là somme de ces deux nombres a? + S — a? est évidemment égale à S.
DécompofiiUon d'un trinôme du second degré en facteurs du premier degré.
ftS. Si â:' et â:^ désignent les racines de l'équation [1] aa?+bx+c=Oj
on a (92) a:'4-ar*'= — -,
se 3b — —•
a Si Ton divise les deux membres de Téqiaaiion [1] par a et que Ton remplace - et - par les valeurs précédentes, son premier membre devient
«C ^^ ^iP I ' •€» j X ' I " Su Su »
ou , comme il est facile de le vérifier,
(a? — af)(x — af^.
Ainsi, le premier piembre d'une équation du second degré
est le produit de deux binômes du premier degré égaux à l'excès de X sur chacune des racines.
Si réquation proposée est de la forme
aa?'\-bx-\'e=0^
c'est seulement , après l'avoir divisée par a , que l'on peut lui appliquer le résultat précédent, et, par suite , avant celte divi« don, le premier membre est égal à
94. Le théorème important qui précède peut encore se démontrer, plus directement, d'ime autre manière. Considérons le trinôme
lOO ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ.
on â, identiquement,
c b* or on peut remplacer — — „ par Texpression identiquement
égale
et, par celte substitution, l'expression [l] devient le produit de a par la différence de deux carrés , savoir :
or on sait que la différence de deux carrés est égale au produit de la somme des racines par leur différence et, par suite, l'expression précédente , équivalente à ax^-^-bx^^-c, peut s'écrire
ou, ce qui revient au même,
où Ton reconnaît l'expression trouvée plus haut
Cette formule, quelle que soit la manière dont on l'établisse, s'applique évidemment au cas où x' et a?" sont imaginaires , mais , dans ce cas , les deux facteurs {x—x'){x — a?") n'ayant* aucune valeur arithmétique, on doit la considérer comme presque sans applications.
98. Lorsque les racines d'une équation du second degré sont imaginaires, ou peut mettre le premier membre sous une forme particulière très-utile à connaître.
iQUATIOIfS DU SECOND DEGRÉ. 101
Si nous reprenons les calculs faits plus haut, nous aurons en
effet
les racines étant supposées imaginaires, V — iae est négatif et, par conséquent ,
4flg — y c V
est une quantité positive , que l'on peut regarder comme le carré de sa racine carrée. Le premier membre de Téquation devient alors
et l'on Yoit qu'il est le produit de a , par la somme des carrés de deux expressions réelles.
96. Si les deux racines x* et x" sont égales , les facteurs x^af, X — a/' (94) deviennent égaux, et le premier membre est un carré parfait. Ce résultat est d'ailleurs facile à vérifier. Pour que les racines de l'équation
soient égales, il faut (88) que l'on ait
Aa
remplaçant c par sa valeur et divisant les deux membres de l'équation par a , celle-ci devient
' a ' 4a* ' c'est-à-dire (^"''2") ~^'
97. Les relations qui donnent la somme et le produit de deux racines permettent de déterminer leurs signes sans résoudre l'équation.
102 iQUÀTIONS DU SECOND DBGlt.
On Yoît, en effet, d'après le signe de leur produit --, si les racines sont de même signe ou de signes contraires. Dans le
premier cas, le signe de la somme apprendra si elles sont
toutes deux positives ou toutes deux négatives. Dans le second cas, Tune est positive et Tautre négative, et le signe de — fait savoir quel est le signe de la plus grande.
Exemple. Les racines de Véquation
a^— Sx — 4=0
sont de signes contraires , car leur produit est — 4 , et la plus grande est positive , car leur somme est positive et égale à 3.
ftsMARQUE. Avant d'appliquer les règles précédentes il faut s'assurer que les racines sont réelles. Si nous considérons, par exemple, Téquation
a?*— 3^+lû=0,
on serait conduit (96) à regarder les racines comme toutes deux positives , car leur produit 10 est positif ainsi que leur somme 3. Mais l'expression b^—4ae (87) étant ici égale à — 31, les racines sont imaginaires.
Nous remarquerons, à cette occasion, que les racines sont toujours réelles lorsque leur produit - est négatif. Si, en effet, est négatif, il en est de même de ac, car on a
et le facteur a* est essentiellement positif, ac étant négatif , 4ac est négatif, par suite — 4ac est positif et il en est, a fortiori^ de même de ft* — 4ac; les racines sont donc réelles.
98. Le théorème de Tarticle 94, dont on fait du reste un usage continuel en analyse, permet de résoudre immédiatement la question suivante , fmner une équation du êecond degré dont les racines soient des nombres donnés a et p.
IQOATIOlfft BU SIOOIO) DSQli. IM
L équation demandée est éWdemment
(ar— «) (a?— p)=: a:"— (« + P)jr + ap = 0 ,
et Ton aperçoit d'ailleurs a priori , que le premier membre (a?— «)(aî— P) s'annule pour ar=« et pour ap=|l. On toit que le coefficient de x est égal h la somme des racines prise en signe contraire et que le terme tout connu est égal au produit des racines.
EuHPLX. Quelle est réquation du second degré dont les racines
Ona 2 + V/3 + 2 — v^3 = 4
(2 + v^(2-v^) = 4-3=l, et réquation demandée est, par conséquent,
Examen d'an cas particulier remarquable.
