CHAPITRE X

THEORIE DES HVËGALITES.

Définitions.

m. On dit qu'un nombre A, est plus grand qu'un autre nombre B, lorsque la différence A— B est positive. D'après cette définition, tout nombre positif est plus grand qu'un nombre négatif , et les nombres négatifs sont d'autant plus grands que leur valeur absolue est plus petite.

Exemples. On a 1 >-^ 8 ,

on a aussi 0> — 4.

it2. Lorsqu'une expression qui dépend d'un nombre inconnu , doit être plus grande ou plus petite qu'une autre, cette condition, que Ton nomme inégalité, permet, en général, d'assigner des limites entre lesquelles l'inconnue doit être ou ne doit pas être comprise. Nous en donnons dans ce chapitre quelques exemples.

Principes généraux relatifs aux inégalités.

115. Une inégalité étant donnée, on peut, sans altérer les conditions qu'elle exprime , ajouter ou retrancher un même nombre à ses deux membres, et par conséquent, faire passer un terme d'un membre dans l'autre comme s'il s'agissait d'une équation. On ne change pas, en effet, la différence de deux nombres, en les augmentant et les diminuant également , et l'inégalité qui existait entre eux, subsiste, par conséquent, dans le même sens , après cette addition.

Ainsi, à l'inégalité A>B

THÉORn DBS miOALlTtS. 131

on peut substituer, quel que soit m ,

1 14. On peut aussi multiplier par un même nombre les deux membres d'une inégalité , /xnireni qm ce nombre soit positif. Les deux conditions

M A. > iwB ,

sont, en effet, complètement équivalentes puisque la différence mk — mB ou wi(A — B) est de même signe que A— B, si m est positif.

On peut aussi multiplier, par un nombre négatif , les deux membres d'une inégalité, mais il faut alors en changer le sens. Ainsi , n désignant un nombre négatif , les inégalités

A>B, nA<nB

sont équivalentes , car la différence nk — nB ou n(A — B) est de signe contraire à A — B.

La même remarque s'applique à la division dés deux membres d'une inégalité par un même nombre , car la division par

m reyient à la multiplication par — .

iltt. n n'est pas toujours permis d'élever au carré les deux membres d'une inégalité » il faut pour cela qu'ils soient positifs. On a , par exemple ,

et, en élevant les deux membres au carré, on serait conduit aux inégalités

qui sont inexactes.

On ne peut pas non plus extraire la racine carrée des deux

132 THBORIB DES INÉGALITÉS.

membres d'une inégalité , à moins que l'on ne prenne les résultats positivement. Ainsi

n'entraîne A>B

que si A est positif.

ii6. Quand on a deux inégalités qui ont lieu dans le même sens

si on les ajoute membre à membre , on obtient une nouvelle inégalité