A>B A + OB + D
ne sont pas équivalents. Le second est une conséquence du premier, mais le premier n'est pas une conséquence du second.
luégalités du premier degré à une incounue.
ii7. Une inégalité à une inconnue est dite du premier degré quand elle peut se ramener à la forme
Aa: + B>A'a: + B',
A, B, A', B' désignant des nombres donnés. Pour trouver les valeurs de x qui y satisfont , je fais passer les termes d'un membre dans l'autre (it5), de manière à lui donner la forme
TliORIB DBS INÉOALITftS. l.?3
en divisant les deux membres par A — A', on en déduira , suivant que cette différence sera positive ou négative
n suffit donc , suivant le cas , de prendre x plus grand ou plus pe!it qu'une certaine limite. On peut remarquer que cette limite est précisément la valeur de x qui rendrait les deux membres égaux.
118. Nous résoudrons, comme application , la question suivante :
Deux points k et "R sont situés à une distance 2c , on sait qvfun point M est tel que AM-f-MB = 2a, a étant une ligne donnée , plus grande que c ; entre quelles limites doit être com^ prise la distance AM?
Supposons d'abord AH > BH ; en nommant x ely ces deux lignes AM et BM, on a, d'après Fénoncé ,
De plus , pour que le triangle AHB soit possible , il faut que le côté AB ou 2c soit moindre que la somme des deux autres et plus grand que leur différence, c'est-à-dire que Ton doit avoir
La première de ces inégalités est une conséquence nécessaire de [1] : on peut donc la supprimer. Quant à la seconde, si on y remplace x par sa valeur 2a — y , elle devient
ou 2a — 2y<2(?,
qui équivaut à y>a^c.
y étant plus grand que a — c^ a?, qui est égal à 2a — y, et par conséquent d'autant plus pelit que y est plus grand , doit être moindre que 2a — (a — c) , c'est-à-dire que a -}-(?.
On doit donc avoir y>a — c
134 THÉOBIE DBS INÉGALITÉS.
y désignant le plus petit et x le plus grand des deux côtés ÂM et MB.
Inégalités du second degré.
ii9. Une inégalité est dite du second degré lorsqu'elle peut se mettre sous la forme
Aa:*4-Er-4 C>0,
ou Aa?'4-Ba? + C<o,
A, B, C désignant des nombres donnés , et â? le nombre inconnu dont il faut déterminer les limites.
Pour résoudre cette question très-importante , il faut distin* guer trois cas.
1® Le trinôme ax*-}- bx -|- c, égalé à zéro , fournit une équation dont les racines sont imaginaires.
Dans ce cas , on a vu (95) que le trinôme est égal au produit de a par la somme des carrés de deux nombres réels ; cette somme étant toujours positive, le produit est nécessairement de même signe que a. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Lorsque les racines de F équation ax'+bx-|-c==0 sont imagi^ naireSj le trinôme ax'+bx+c, esf, quel que soit x, de même signe que son premier terme.
Exemples. Le trinôme ix^'\-X'\-7 est positif et le trinôme — ix^-\'2x ^ 20 est négatif pour toutes les valeurs réelles de x.
2" Le trinôme ax*+bx + c, égalé à zéro y donne deux racines réelles et inégales.
Dans ce cas ^ on a (95) , en désignant par œ\ x!' les deux racines ,
ax^-\- bx -{- cz=ia{x — x*) {x — a/0»
On voit , à l'inspection de cette formule, que si x est compris entre les racines xf et ar", les deux différences x — a/, x — ai* seront de signes contraires et le produit sera par conséquent de signe contraire à a. Si , au contraire , x n'est pas compris entre x' et x'\ il sera plus grand que chacun de ces nombres ou plus petit que chacun d'eux. Les facteurs a?— a?', x — a/'
THiORIlC DES IJXkQàLlTÈM. 135
seront donc tous deux positifs ou tous deux négatifs et le produit sera, par conséquent, de même signe que a. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : Lorsque les racines de Véquation ax'+bx -{• c=0 sont réelles et représentées par x' et x", le trinoine ax*-|-bx-j-c, est de même signe que son premier terme lorsque x n'est pas compris entre x' et x", et de signe contraire à son premier terme lorsque x est compris entre x' et x".
3* Le trinôme ax'+bx -|- c, égalé à zéro, donne deux racines réelles et égales.
En désignant par x^ la valeur commune de ces racines , on a (96)
aa^'\-bX'{'C:=a{x--xf)^^
et l'on voit que cette expression est toujours de même signe qne a , excepté pour la valeur x = x' qui la rend nulle.
ÂinsiMonc : Lorsque les racines de l'équation ax*-|-bx+c=0 sont égales , le trinôme ax'-f- bx + c est toujours de même signe que son premier terme, excepté pour la valeur de x qui le rend nul.
Remarque. Les trois théorèmes précédents peuvent se renfermer sous un seul énoncé : Le trinôme ax'+bx+e est de même signe que son premier terme, excepté lorsque x est compris entre les racines de Véquation ax*+bx + c=0«
On sous-enlend alors que , dans le cas des racines imaginaires , X ne pouvant jamais être compris entre elles, le trinôme a toujours le signe de son premier terme.
Exemple 1. Soit Tinégalité
En égalantle premier membre à zéro, on trouve, pourracines,
— « et — -.11 faut donc , pour qu'il soit positif , c'est-à-dire
de signe contraire à son premier terme , que z soit compris entre ces deux racines, c'est-à-dire il faut que
Exemple K. Soit encore l'inégalité
les racines de Téquation 3a? — a?* — 7 = 0 étant imaginaires , l'inégalité proposée est satisfaite quel que soit x.
Discussion de quelques problèmes.
120. La théorie des inégalités sert fréquemment , dans la discussion des problèmes, à déterminer leurs conditions de possibilité ; nous en donnerons quelques exemples.
Problème I. Déterminer les côtés cCun triangle rectangle connaissant sa surface m* et son périmètre 2p.
Soient x, y, z les côtés du triangle, z élant l'hypoténuse, on a, d'après l'énoncé, et en se servant de propositions très-connues,
En multipliant par 2 les deux membres de la troisième équation, et l'ajoutant ensuite à la première, il vient
ou
La seconde , donne d'ailleurs l'équation
x + y = 2p -2, d'où
[5] (oo + y)' = {2p-z)\
En égalant les deux valeurs de (a?+y)' fournies par les équations [4] et [5] , il vient
(2p— J5;*=s» + 4m', ou , en effectuant l'élévation au carré indiquée dans le second
THÉORfS DBS INÉGALITftS. 137
membre, et supprimant le terme s* qui est commun ,
4f^ — 4pz = 4m* , d'où l'on déduit , r^^ 4p^— 4m' o" — m*
On voit, par cette valeur de Zy que l'une des conditions de pos< sibilifé du problème est f^>m\ mais cette condition ne suffit pas , il faut , en outre « que l'on troujre pour x ety des valeurs positives et réelles. Or, z étant connu , les équations [2] et [3] font connaître a? + y et :py , et donnent
xeiy sont, par conséquent, raciales de l'équation
On voit , à l'inspection de cette équation (07), que les racines sont positives si elles sont réelles. 11 suffit donc d'exprimer qu'elles sont réelles , c'estrà-dire que l'on a
OU, ce qui revient au même, puisque 4p* est positif,
ou, en extrayant la racine carrée des deux membres, ce qui est permis , puisqu'ils sont positifs ,
[7] p^ + m*>2pm)/2.
Telle est la condition à laquelle;) et m doivent satisfaire; on peut en déduire les limites entre lesquelles peut varier p pour une valeur donnée de m , ou m pour une valeur de p. Nous
obtiendrons ces deux résultats à la fois , en posant— = r. Si , en
188 THÉORIB DIS INÈOAVTiS.
effet , l'on divise par m' les deux membres de Tinégalité [7] , elle devient
f* + l>2rv/2,
ou f*— 2fv/2 + l>0;
d'où Ton conclut (119) que r doit être plus grand que la plus grande racine de l'équation r*— 2rv/24-t =0, ou plus petit que la plus petite , c'est-à-dire plus grand que \/2 + 1 , ou plus petit que v^— 1. Maisp étant, comme on Ta vu, plus grand
que m , le rapport — ne peut pas être moindre que v/2 — 1 ; il
faut donc qu'il soit plus grand que v^2-|- 1 ; et telle est la condition de possibilité du problème.
Remarque. Le triangle rectangle dont le périmètre est ^p et
in
la surface wi*, n'est possible que si — est plus grand que v^2 -|- 1 ;
p et par suite m < "TfTTi *
Ces inégalités fournissent les solutions des questions suivantes: Quelle est la plus grande swface que puisse avoir un triangle
rectangle de périmètre idonné?
Quel est le plus petit périmètre que puisse avoir un triangle
rectangle de surface donnée ?
Problème II. Inscrire dans une sphère de rayon r un cylindre dont la surface totale y y compris les deux bases ^ soit équivalente à un cercle de rayon dùnnéy irm*.
En nommant x le rayon de base et y la hauteur du cylindre, la géométrie fournit immédiatement les équations suivantes:
ou , en supprimant le facteur tt, [2] ar*+2a:y = m'.
THiOBn DES INÉOÀLITte. 139
On déduit de [2] y = '"'~^^* ;
et, en substituant dans [1],
•^+ lùa^ "^^
ou, chassant les dénominateurs et réduisant les termes semblables,
201?* — (4m« + 1 6RV + w* = 0, d'où l'on déduit
p.^ 4 /4m*+16R«=t:v^(4mM-16R')'--80m* L4J a?— y ^ .
A la seule inspection de Téquation bicarrée qui donne les valeurs de a?*, on s'aperçoit que si les racines sont réelles, elles sont toutes deux positives, et fournissent par conséquent chacune une valeur réelle de x. Hais il ne suffit pas que x soit réel et positif, il faut que y aussi le soit; par suite on doit avoir
Le problème aura donc autant de solutions qu'il y aura de valeurs de x fournies par la formule [4], et satisfaisant à cette condition.
Pour que les deux valeurs de x conviennent, il faut d'abord qu'elles soient réelles ; il suffit pour cela, comme nous l'avons dit, que celles de a^ le soient, ce qui exige seulement l'inégalité
ou (4m» 4- 1 6R*) >4)/5.m\
c'est-à-dire .., * ,^ 16R« 4R«
Cette condition étant remplie, cherchons dans quel cas les va-
140 " THÂORIB DES INÉGALITÉS.
leurs de x satisfont toutes les deui ; il faut, pour cela, qu'elles soient moindres que -=; et il suffit évidemment d'exprimer que
la plus grande remplit cette condition et que Ton a,
^ nf^ 4m*+16R'-fv/(4m«+16RV--80m* "2^ 40
ou, en chassant les dénominateurs et réduisant,
16(m«— R«)> v/(4w* + 16RV— 80m*.
Si m est moindre que R, cette inégalité est impossible, et il ne peut pas, par conséquent, exister deux solutions.
Si m est plus grand que R, les deux membres de l'inégalité étant positifs, on peut les élever au carré après les avoir divisés Fun et l'autre par 4, il vient ainsi
ou 20m* — 40m«R«>0,
c'est-à-dire m«>2R«.
D'ailleurs, pour que x soit réel, on doit avoir
Il faut donc, pour qu'il y ait deux solutions, que m* soitcom-
4R* pris entre 2R' et -j=z — •
v6 — 1 Un calcul facile prouverait que la plus petite valeur de x satisfait dans tous les cas, et fournit une solution du problème toutes les fois qu'elle est réelle.
Remarque. On peut se rendre compte, de la manière suivante, des résultats que nous venons d'obtenir.
Si l'on examine les valeurs successives par lesquelles passo la surface d'un cylindre inscrit dans une sphère lorsque lo rayon de la base augmente depuis 0 jusqu'au rayon r de la sphère, on voit que cette surface, d'abord nulle, augmente jusqu'à une limite que le calcul fait connaître, et qui, d'après ce
TBÉORIS DES INÉGALITÉS. 141
4irR'
qui précède, est --= — ; puis elle diminue jusqu*à la valeur
2irR*, qui correspond au cas où la hauteur étant nulle, le cylindre se réduit à ses deux bases qui sont deux grands cercles. Or, en augmentant depuis zéro jusqu'au maximum pour diminuer depuis le maximum jusqu'à 2irR*, il est évident que la surface du cylindre passe deux fois par toutes les valeurs comprises entre le maximum et StcR*, et une seule fois par celles qui sont moindres que 2irR*.
RÉSUME
111. Dé6nition des expressions plus grand que, plus petit que, quand il s*agitdes nombres négatifs. — 112. Ce qu'on entend par résoudre une inégalité. — 11 5. On peut ajouter ou retrancher un nombre quelconque aux deux membres d'une inégalité. — 114. On peut aussi multiplier les denx membres d'une inégalité par un nombre positif. Si on les multiplie par un nombre négatif, il faut changer le sens de Tinégalité. — lltf. On ne peut pas toujours élever au carré ni extraire la racine carrée des deux membres d'une inégalité. — 116. On peut ajouter deux inégalités qui ont lieu dans le même sens, mais le résultat ne peut pas remplacer l'une d'elles. — 117. Inégalités du premier degré à une inconnue. — 118. ConnaissanI la base d'un triangle et la somme de ses côtés, trouver entre quelles limites sont compris ces côtés. — 119. Inégalité du second degré ; la question se ramène toujours à savoir pour quelles valeurs de a? le trinôme aîr*-|-6x-|-c est positif ou négatif. On doit distinguer trois cas : 4« Si le trinôme égalé à zéro a les racines réelles, il est de signe contraire à a lorsque x est compris entre les racines, et de même signe dans le cas contraire; 2* Si les racines sont égales, le trinôme peut s'an* nuler, mais ne devient jamais de signe contraire à a; 3^* Si elles sont imaginaires , il ne peut ni s'annuler ni devenir de signe contraire à a. — 120. Application de la théorie précédente à la discussion de quelqui problèmes.
EXERCICES
