QUELQUES QUESTIONS DE MAXIMUM OU MINIMUM
121. Lorsqu'on cherche à rendre une grandeur égale à une quantité donnée, le problème n'est souvent possible que sous certaines conditions. Dans la plupart des cas , il faut que la quantité donnée soit comprise entre certaines limites que la discussion fait connaître. Ces limites indiquent la plus grande et la plus petite valeur que l'on puisse attribuer à la grandeur considérée, c'est-à-dire le maximum et le minimum de cette grandeur. Nous en donnons quelques exemples dans ce cliapitre.
122. Problème I. La sommée de deux nombres \ et y étant donnée et égale à 2a, entre quelles limites peut varier leur pro^ duit?
Nommons p le produit des deux nombres x et y, cherchons à les déterminer en regardant ce produit comme connu : nous verrons ensuite quelles conditions p doit remplir pour que le problème soit possible.
On a
[2] xy=p.
xety sont donc les racines de Téquation
et leurs valeurs sont réelles (87), si Ton a
a* est donc la limite qixep ne peut surpasser, et, par conséquent, le maximum du produit xy. 11 n'y a pas de minimum.
OCISLQDKS QUfiSTlQiiDyK MAXIMUM OU MINIMUM. 1^5
Si Ton suppose p^o", l'équation [3] a ses deux racines égales à a; le produit maximum correspond donc au cas où â; et y sont égaux à a.
Du résultat précédent, on peut en déduire plusieurs autres qu'il ne serait pas auni facile d'obtenir directement.
123. THiORÈMB. La somme de plusieurs nombres poffiifs étant donnée j leur produit est le plus grand possible quand ils sont tous égaux.
Les nombres considérés étant tous moindres que la somme donnée, leur produit ne peut surpasser toute limite, il est donc susceptible d'un certain maximum.
Soit abc A
ce maximum. Je dis que les facteurs a, A, .../ ne peuvent être inégauXi car si deux d'entre eux, a et ô^ par exemple, étaient différents, on pourrait, sans altérer leur somme, les remplacer,
Tun et l'autre, par "^ ce qui augmenterait leur produit,
puisque (122), la somme étant constante, le produit est le plus grand possible quand les facteurs sont égaux. On aurait donc
aoc.*.kl<Z, — o~* 2 — ^•••*''
et par suite, abc. ..kl n'est pas le plus grand produit que Ton puisse faire avec des facteurs ayant la somme donnée.
124. Rbmârqub. Nous supposons, dans le raisonnement précédent, que a, 6, ... *, /. . soient des nombres positifs. S'il n'en était pas ainsi, le produit n'aurait pas de maximum, car la somme des facteurs restant la même, leur valeur absolue pourrait augmenter sans limite, et si les facteurs négatifs étaient en nombre pair, le produit serait positif et aussi grand qu'on le voudrait.
iStf. Problème II. La somme de deux nombres positifs x, y étant donnée^ trouver le maximum du produit x"*y'*, m et \\ étant des nombres entiers donnés.
146 QUELQUES QUIiSTlONS DK MAXiMUM OU MlNIlfUV.
Le maximum cherché correspond aux mêmes valeurs de x et de y que celui de
car cette expression ne diffère de la première que par un facteur cMitant -;j-;; : mais ce nouveau produit, peut être considéré comme composé de »i + n facteurs
x^ ûs^ X y y y
dont la somme
m — hn- ou a?-fy
est donnée. Le j^odudtsera donc le plus grand possible (123) , si les facteon sont égwx, c'est-à-dire si l'on a
cette relation permettra de déterminer x et y, puisque l'on connaît, par hypothèse, la sonmie x-\'y.
126. Problème III. On donne le produit p de deux nombres positifs. Trouver le minimum de leur somme.
Je dis que la somme sera minimum lorsque les deux nombres isçront égaux à v^, et leur somme égale, par conséquent,
En effet, le plus grand produit possible de deux nombres qui ont pour somme 2\/p, est égal (.122) à \/p.v^ ou h p. Donc : si â«ttx nombres ont, pour somode, t^/p, leur produit est, au plus, égal h p.
U est évident, d'après cela, que si les deux nombres ont nne somme moindre que iy/p, leur produit est moindre que p ; il faut donc, pour que le produit de deux nombres soît jp, que leur somme ne soit pas moindre que 2v/p ; 2v/p est, par suite, la plus petite valeur que cette somme puisse avoir.
127. Problème IV. O/i donne le produit ç de n nombreêp9» sitifs. Trouver le minimum de leuf somme.
QDILQniS QUESTIONS DS MAXIMUM OU MINIMUM. 147
Je dis que la somme sera minimum lorsque tous les nombres
seront égaux à s/p* En effet, le plus grand produit possible de n nombres qui
ont, pour somme n\lp^ est (123) (v(ph ou p.
Donc, si n nombres ont une somme égale k nyfp^ leur produit ne peut surpasser p.
A fortiori^ si n nombres ont une somme moindre que ny/p^ leur produit sera moindre que p.
D'après cela, pour que le produit de n nombres soit p , il
faut que leur somme ne soit pas moindre que n^p, et n\/p est par conséquent, la valeur minima de cette somme.
128. Paoblèms V. On donne le produit x"'y''=p. Trouver le minimum de x + Y-
Je dis que ce minimum correspondra au* cas où — = -•
ni n
Soient, en effet, a et p deux nombres tels que
Parmi tous les nombres â; et y qui ont pour somme a+P (128),. a et p sont ceux qui donnent au produit a?"'^** la plus grande valeur. Si donc deux nombres x ei y ont une somme moindre que « + p, le produit afy'' sera, a fortiori^ moindre que a*"P*, c'est-à-dire que p. Par suite, pour que ^"•y^ soit égal à p, il faut que o^+y soit au moins égal à «-f*^9 qui est, par conséquent, sa valeur minimum.*
129. RnuRQUB. Les trois problèmes précédents (126), (127), (128) sont, en quelque sorfe, réciproques de ceux que nous avons résolus en commençant ce chapitre (122), (123), (128). Cette réciprocité entre certains problèmes de maximum et minimum peut être formulée, comme il suit, d*une manière générale.
Si, une quantité B étant donnée, une autre quantité Â est maximum, dans certaines circonstances; A, étant donné, B sera minimum dans les mêmes circonstances , pourvu que la valeur maximum de A diminue lorsque la \aleur donnée de B diminue elle-même.
