QUBLQUES QUESTIONS DE MAXIMUM OU MINIMUM

Admettons, en effet, que Ài soit la plus grande valeur de A qui puisse se concilier avec la valeur Bi de B. ^4 fortiori^ une valeur de B moindre que Bi exigerait que A fût moindre que Al, puisque, par hypothèse, le maximum de A est d'autant moindre que la valeur de B est plus petite. La valeur Ai de A ne peut, d'après cela, correspondre qu*à des valeurs de B au moins égales à Bi, et Bi est, en d'autres termes, la moindre valeur de B qui corresponde à A=Ai, c'est-à-dire le minimum de B, correspondant à la valeur Ai de A.

ExiMPLSS. On démontre en géométrie :

Que le cercle est la courl>e qui, sous une longuem- donnée, renferme la plus grande surface ;

Que le triangle équilatéral est le triangle qui, sous an périmètre donné, contient la plus grande surface.

Il en résulte :

Que le cercle est la courbe qui, avec une aire donnée, a le plus petit périmètre;

Que le triangle équilatéral est le triangle qui, avec une aire donnée, admet le plus petit périmètre.

150. Nous ap[>liquerons la méthode générale qui a fourni le théorème 1 , à des questions un peu plus composées.

Problèmb YI. Trouver entre quelles limites peut varier l'expression

lorsque x prend toutes les valeurs possibles. Posons, conformément à la méthode générale,

ax^ -{-bx-^c

on en déduit

b'm-'b±\/ib'm-' 6)'-- 4 (a — a' m) (c — c'm) ^■" 2{a—a'm) '

pour que X soit réel, on doit avoir

QCBLQUBS QUESTIONS DI MAXIMUII OU MINIMini. HO

c'esl-à-dîre

nous distinguerons trots cas.

1* 6'>—4«'e' est positif.

Dans ce cas , le trinôme qui forme le premier membre de rinégalité sera positif, c'est-à-dire, de même signe que le premier terme, pour toutes les valeurs de m non comprises entre les racines de l'équation obtenue en régalant à zéro. Si donc, ces racines sont réelles et désignées par m', m'\ m pourra recevoir toutes les valeurs, excepté celles comprises enire m' et m"; si elles sont imaginaires, m pourra recevoir toutes les valeurs sans exception.

2« ftt— 4aV est négatif.

Dans ce cas, le trinôme qui forme le premier membre de rinégalité sera positif, c'est-à-dire de signe contraire à son premier terme, pour les valeurs de x comprises entre les racines de réquation obtenue en régalant à zéro. 11 est d'ailleurs impossible que ces racines ne soient pas réelles, car alors m ne pourrait prendre aucune valeur, et il est évident, d'après l'équation [Ij, que cette conclusion est inadmissible.

3» j'«4aV est nul.

L'inégalité [2] devient alors du premier degré, et on la résoudra comme il a été dit (117).

PaoBLÈMB VIL y et \ étant deux variables liées entre elUs par une équation du second degré

[i] «y* + àxy -j- ca?' + rfy -f ea? -f /= 0,

tromer les valeurs extrêmes que puisse prendre l*une d'elkê^ X par exemple.

Si on résout l'équation [1] par rapport à y, on aura

—bx-^d . 1

[2] y=— î^-Jf=t^v/(^iC+d)«-4a(r^4-^x + /^);

la quantité sous le radical est un trinôme du second degré que nous pouvons remplacer par ma^'\'VX'\'q\ m, », q étant des

150 QUELQUES QUESTIONS Dl MAXIMUM OU MINIMUM.

quantités connues dont on formera facilement Texpression, savoir :

n =^2bd — 4ae

q — d* —iaf, et Ton aura

[^^ y=~ L ^ii^^^ + ^+P'

Or, il est évident que Ton ne pourra donner à x que les valeurs qui rendent mof^nx-^-p positif, car, sans cela, y serait imaginaire ; X doit donc satisfaire à Tinégalité

et on a vu (ii9) comment on peut, dans les différents cas, déduire de rinégalité [4] les limites entre lesquelles x doit être ou ne doit pas être comprise.

Problème YDI. Tramer entre quelles limites peut varier U polynôme

[t] Af/^+'Bxy + Cx^+Dy + Ex + F

lorsque les variables xetj prennent toutes les valeurs possibles.

Posons Af + Bxy + Ca^ + Dy + Ex + F=m;

si, dans cette équation, on considère y comme inconnue, on en déduit

y = —~^ ± ^ V^(Ba?+D)^4A(Ca;«+Ea?+F— m).

Pour qu'une valeur assignée à m , soit compatible avec des valeurs réelles de x et de y, il faut que, pour cette valeur de m, Ton puisse avoir, en choisissant x convenablement,

[2] (Ba? + D)« — 4A((ic«+Ea?+F— iw)>0,

c'est-à-dire

[2] (B«— 4AC)x*-f-2(BD— 2AE)a:-t- D»— 4AF-f-4A»i>0, nous distinguerons trois cas :

QOILQniS QU18TI0N8 DB MAXIMUM OC MINIMUM. 151

!• (B" — 4 AC) est positif.

Dans ce cas, llnégalité [i] est toujours possible, car un trinôme du second degré peut toujours prendre le signe de son premier terme \ il n*y a pas alors de limites pour m.

2* (B*—4AC) est négatif.

Dans ce cas , l'inégalité [2] est possible lorsque le premier membre égalé à zéro fournit des valeurs réelles de or, et impossible dans le cas contraire. On sait, en effet, qu'un trinôme du second degré ne peat devenir de signe contraire à son premier terme, que lorsqu'il s'annulle pour des valeurs réelles de la variable. On doit, d'après cela, cl^oisir m y telle que les racines de l'équation

(B'«— 4A'C')a" + 2(BD — 2AE)a:+D*— 4AF + 4Am = 0

soient réelles.

Cette condition est exprimée par l'inégalité

(BD — 2AE)« > (B'« — 4A'C) (D« — 4 AF + 4 Am) ;

cette inégalité est du premier degré en m, on en déduira (ii7), la limite de cette quantité.

3» (B* — 4AC)estnul.

Dans ce cas , l'inégalité [2] est du premier degré eux, et possible, par conséquent, pour toutes les valeurs de m ; il n'y a donc pas alors de limite à assigner à cette quantité.

S'il arriyait pourtant que^BD— 2AE s'annul&t en même temps que B* — 4AC , Tinégalilé deviendrait

Di 4AF + 4Am>0,

et Ton en déduirait une limite de m, savoir :