AF— D

ou •!< -^ ,

selon que A serait positif ou négatif.

Problème IX. La somme x-j-y étant donnée et égale à 2a , entre quelles limites peut varier x' -f- y' ? Désignons ic'+y* par «*, et cherchons à déterminer x et y.

152 QUELQUES QUESTIONS DE MAXIMUM OU MINlMqM.

nous verrons quelle condition s* doit remplir pour que le problème soit possible ; on a

on déduit de [1] y = 2a— a?,

et, en substituant cette valeur dans [2],

ou, en développant

[4] a^ -f 8a» — 12a*a? + 6aâ?» — «•=«»,

et, en supprimant les termes a?» et — a:* qui se détruisent, el ordonnant par rapport à x ,

[5] ' 6ax* — 12a*^ -f 8a» = «" ;

on en déduit

[6] a? = ad:j^v^l44a* — 24a(8a»— «•),

et, pour que le problème soit possible, il faut que Ton ait

si a est positif, nous pouvons supprimer- le facteur 24a, et il vient

d'où Ton déduit 5» > 2a» ;

telle est donc la seule condition imposée à la somme ^, puisque, X étant réelle, réquation [1] fournira toujours une valeur réelle pour y.

Le minimum demandé est, par conséquent, 2a'.

Il est facile de voir que Thypothèse s»= 2a^, introduite dans l'équation [6] , donne x = a, et que Ton a, par suite, y = o. La somme x^-^-y* est donc minimum quand x el y sont égaux entre eux.

QOËums QuisnoNs te maximum ou minimum. 153

RÉSUMÉ

iU. Définition du maximum et du minimum des grandeurd assujetties à certaines conditions. — 1112. Maximum du produit de deux nombres lorsque leur somme est donnée. — i5K3. Extension du résultat au cas d'un nombre quelconque de facteurs positifs. — 15(4. Si Ton donnait la somme de plusieurs nombres sans les asa^^îi' ^ ^^ positifs, le produit pourrait ardtre sans limite. — IStt. w+y étant donné, a:*^ est

maximum quand on a — s=^. — 126. Connaissant le produit de deux

nombres positiCm trouver le minimum de leur somme. — 127. Extension au cas d'un lombre quelconque de facteurs. — 128. Connaissant a^l^, trouver lè.lsiÉhiium de j; -j-y. — 129. Remarque sur un certain genre de réciprocité eptre des questions de maximum et de minimum. 130. Solution de quelques problèmes de maximum et de minimum.

EXERCICES

I. or-f-y étant donné, la règle qui fournit le maximum de rr*'^** s'étend au cas de m et n fractionnaires.

IL Minimum de ^* + "Zi >

metn étant entiers ou fractionnaires et x positif.

III. a^f/^ étant donné , xr'y'^ est-il suceptible de maximum ou de minimum , m, n, m', n' étant donnés , et x ef y assujettis à être positifs ?

IV. Parmi les parallélipipèdes rectangles de mêmes surfaces, quel est celui qui a le plus grand volume , et parmi ceux de même volume, lequel a la plus petite surface?

V. Quelle est la zone sphérique , à une base, qui contient le plus grand volume parmi celles de même surface , et la zone de plus petite surface parmi celles qui conticnnnent même volume?

VI. Quel est le plus grand cylindre inscrit dans une sphère donnée, et parmi les cylindres de même volume, celui qui est inscrit dans la plus petite sphère ?

154 QCILQDSS QDKSTIOIfS DB MAXIMUll OU MmiMDM.