XV. On donne trois équations à deux inconnues

arx + Vf^^dT.

n existe un nombre infini de facteurs X , V^ V, tels qu'en multifdiant la première équation par X , la seconde par X', la troisième par X*", et en ajoutant les résultats , on obtienne une équation de la forme

a?=:Xd + V(f+XV.

Trourer les faelears X, X\ X"" qui, remplissant cette tion , rendent la somme X^+X^^- X** la plus petite possible

CBAPITRE XÏI.

TH£OBIE D£S PROGRESSIONS.

Progressions par différence.

iSi. Une progression par différence est une suite de nombres tels que la ilifférence de Tun d'eux au précédent soit constante : cette différence se nomme raison de la progression.

Exemple. Les nombres entiers 1,2, 3, 4... forment une progression par différence dont la raison est 1 .

Pour indiquer que des nombres forment mie progression, on les écrit à la suite les uns des autres en les faisant précéder du signe i- et plaçant un point dans chaque intenalle. Exemple :

est une progression dont la raison est 5.

Remarque. Si Ton écrit en sens inverse les termes d'une progression y la différence d'un terme au précédent reste la même, mais elle chmge de signe. Ainsi la progression précédente peut s'écrire.

On lui donne alors le nom de progression décroissante.

Valeur d'un terme de rang quelconque dans une progression.

132. Dans une progression croissante, chaque terme peut se former en ajoutant la raison au précédent; il en résulte que pour former un terme de rang quelconque, il faut ajouteifau premier autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l'on considère.

Dans une progression décroissante un terme de rang quel-

rnoAis Ms PiOGUsMM. 157

conque est, au coniraire, égal au premier, diminué d*anlMlt de fois là ndson qu*il y a de termes avant celui que l'on considère.

ExnFLB. Dans la pn^ression :

le ternie 34 est égal à 4 augmenté de 6 fois 5 ou 30.

RgMAïQfJi. a étant le premier terme d'une progression croissante, et«f sa raison, le »** terme est égal à a +(n — l)r. Si la progression est décroissante , a et r, désignant toujours le premier terme et la raison , la valeur du «*« terme est fl— (a— )r.

Les deux formules préeédentes peuvent se réduire à une seule et |a distincticHi entré les progressions croissante et décroissante peut être supprimée si Ton con\ieal, en général, que la raison d'mia progression est l'excès d'un terme sur le terme précédent Si la progression est décroissante , cet excès est né^tit^ et la lettre r qui désigne la raison représente alors un nombre négatif. D'après cette convention , si le premier terme est a et r la raison, le dernier terme sera égal, dans tous les cas , à

iMcrtiM &9 Boyeoft ariihoiéUfBcs.

453. Insérer m mojens arithmétiques entre deux nombres » a et /, c'est former une progression dont a et / soient les termes extrêmes et dont ces m moyens soient les termes inlermé- . diaires.

Pour calculer ces moyens et la raison de la progression qu'ils forment, remarquons que celte progression aura ta -j-^ termes ; le damier terme / , sera donc (I3S) égal à a augmenté de (m + 1) fois la raison. L'excès de / sur a est donc égal à » -f- 1 fois la raison cherchée, et, par conséquent, cette raison

r est ~ ^> Connaissant la raison et le premier terme^ on for-

JW-f-l

mera sans peine tous les autres.

158 THtORlE DBS PROGRESSIONS.

154. Remarqui I. La raison ne dépend que de la difiérence I-^ a et du nombre de moyens insérés. Il en résulte que si l'on considère une progression

et que Ton insère m moyens entre a et bj m entre b ei c^m entre c el d^ etc. , les progressions ainsi formées auront toutes même raison , et comme le dernier terme de l'une est le premier de la suivante, on pourra les considérer comme n'en faisant qu'une seule.

138. Rbmàrqub il Quel que soit^ ]e nombre de moyens insérés entre deux nombres a et l\ la raison de la progression obtenue est le quotient de la division de /—a par un nombre œtier. Réciproquement y on peut déterminer le nombre des moyens insérés, de telle sorte que le nombre entier par lequel il faut diviser / — a, pour obtenir la raison , ait telle valeur que Ton voudra.

Si Ton veut, par exemple, que la raison soit "T^, il faut

insérer trois moyens.

Somme des termes d'une progression par différence.

136. THÉOiiMB. Dans une progression par différence la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante et égqle à la somme des termes extrêmes.

Désignons par a et l les termes extrêmes d'une progression, et par r sa raison. Le terme qui suit a, est a-f r, celui qui précède / , est I — r, et il est évident que leur somme est égale à a-\'l. Le terme qui suit a de deux rangs est a -f 2r. celui qui précède / de deux rangs , / — 2r, et leur somme est encore a-f- /. En général, le terme placé n rangs après a, est a -f nr, le terme placé n rangs avant / est / -— nr^ et Ton a évidemment

a-f-nr-}-/ — nr:=a'\'l.

137» Soit une progression [1] •ka.b.c.J.k.l.

THÉORUB DBS PROGRESSIONS. 159

ÉcrlTons cette progression sur une seconde ligne horiiontile en la renversant de telle sorle que les termes à égale distance dat extrêmes se correspondent verticalement dans les deux lignes :

Si on ajoute les termes de la suite [1] et ceux de la suite [2] , on aura évidemment le double de la somme cherchée, puisque chaque terme entrera deux fois. On aura donc , en désignant cette somme par s ,

^=(a+l)+ib+k)+ic+j)+....+(j + c)+{k+b)+(l+a);

mais (136), toutes les sommes indiquées entre parenthèses sont égales à la somme a + ' det. termes extrêmes , et comme leur nombre est le nombre n des termei de la progression , on a

(a + /)Xn ou «- 2

Rbharque, Si l'on connaissait seulement le premier terme a, la raison r, et le nombre n des termes, il faudrait, pour appliquer le résultat précédent, commencer par calculer le dernier terme /. On aurait (152) / = a + (»*— 1) ^^ et par conséquent,

(a 4- On [2a + (n —iy]n ' = —î— 2

Exemple. Calculer la somme des n premiers nombres impairs,

Ces nombres forment une progression de n termes» leur somme est donc

ainsi la somme des n (premiers .nombres impairs est égale au carré de n.

Progression par quotient.