THÉORIE DES PROGRESSIONS

tels que le rapport de Vixn d'eux au précédent soit constant. Ce rapport se nomme raison de la progression.

Exemple. Les nombres 1 , 10, 100, 1000, etc., forment une progression par quotient dont la raison est 10.

Pour indiquer que des nombres Tormcnt une progression par quotient, on les écrit à la suite les uns des autres, en les faisant précéder du signe h , et plaçant deux points dans chaque intervalle.

Exemple, h 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : etc., est une progression par quotient dont la raison est 2.

Remarque. Si Ton écrit en sens inverse les termes d*ùne progression, le rapport d'un terme au précédent prend une valeur réciproque de celle qu*il avait : ce rapport est donc encore constant, et l'on a une nouvelle progression, décroissante si la première était croissante.

Exemple. ^ 128 : 64 : 32 : 16 : 8 : 4 est une progression^ décroissante dont la raison est ^.

Valeur d'un terme de rang quelconque.

159. Dans une progression par quotient , chaque terme se forme en multipliant le précédent par la raison : il en résulte que pour former un terme de rang quelconque, il faut multiplier le premier par la raison prise autant de fois comme facteur, qu'il y a de termes avant celui que l'on considère, c'està-dire par la raison élevée à une puissance marquée par ce nombre de termes.

Remarque, a étant le premier terme d'une progression pai* quotient et q sa raison, le »"»• terme est égal à a x g*"*.

140. Théorème. Si une progression est croissante, on peut la prolofiger assez pour que ses ternies dépassent toute limite

donnée.

Soit une progression croissante ayant pour raison un nombre q supérieur à F unité :

Ha:b:c:d: :k:l:m.

THÊOftlK DUS PftOGEKSSIUlfb. 161

Ou a les égalités l = kx,q^

ou en déduit wi— /=(/— Â)xg,

et comme q est, par hypothèse, plus gi*and que 1, la différeucc m — l est plus grande que /—A*. L'excès d'un terme sur le précédeul \a donc sans cesse en croissant. Or, en supposant cet excès constant,^ on pourrait, en Tajouliml au premier ternie a, un nombre suffisant de fois , obtenir un résultat aussi grand qu'on le voudrait, et il en est, a fortiori, de même si, comme nous l'avons reconnu, il \ a en augmentant.

i4i. TatoRSUE. Si une progression est décroissante, on petit la prolonger assez pour que ses tenues décroissent au-dessous de toute limite.

Soit une progiession décroissante ayant pour raison un nombre q inférieur à l'unité :

LCb termes â» j» ^> 5» - j» /> ^

formeront une progression croissante ayant pour raison - ; car des égalités

6=aXg, c=:6Xg, d = cX^ on déduit

11 résulte donc du théorème précédent que les fractions t,t9 —

peuvent devenir aussi grandes, et, par suite, leurs dénominateurs *, /, m, aussi petits qu'on le voudra. C'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

Inserlion de moyens par quotient.

142. Insérer m moyens par quotient entre deux noujbres a et /, c'est former une progression dont a et / soient les Icr-

162 THÉOIU DBS PROGRBSftIONS.

mes extrêmes, et dont ces m moyens soient les termes intermédiaires.

Pour calculer ces moyens et la raison de la progression qu'ils forment, remarquons que celle progression ayant m-\-^ termes, le dernier terme l est égal (i39) à a multiplié par la puissance (m-f- 1)"* de la raison ; on en conclut que le rapport

- est la puissance (m-f- !)"• de la raison, et que, par consé-

quent, cette raison est i/-. Connaissant la raison et le premier terme, on formera sans peine tous les autres.