Remarque I. La raison ne dépend que du rapport - et

du nombre des moyens insérés ; il en résulte que si on considère une progression

et que Ton insère m moyens entre a et 6, m entre b elc^m

entre c et ^ , les progressions ainsi formées auront toutes

même raison, et comme le dernier terme de Tune est le premier de la suiYante, on pourra les considérer comme n'en faisant qu*une seule.

144. Remarque II. Pour que trois nombres a, beï c puissent faire partie d'une même progression, il faut qu'on puisse insérer entre a et c un nombre de moyens tel , que la progression qu'ils forment compte b parmi ses termes; en désignant par m ce nombre inconnu de moyens , la raison de la progression est

(145) y/1 Pour que b soit le »"• terme de cette progression, on doit avoir

ou, ce qui revient au même,

L(vr-

Ces deux quantités devant être égales , il faut que leurs

THiEORIl DIS PR00tI88I01l9. 16S

puissances (m + 1)"*** le soient elles-mêmes, et, par conséquent,

Supposons que b^aelc soient commensurables, il en sera de même de - et - ; si nous désignons par - et - les fractions irréductibles équivalentes, Végalité [3] revient à

Mais ces deux fractions sont irréductibles, et ne peuvent être égales que si

d'où résulte évidemment que 61 et Ci doivent être composés des mêmes facteurs premiers, ainsi que Oi et Os , et que les exposants d'un même facteur, dans bi et cx et dans oi et Oi, doivent

avoir un rapport constant , J .

APPLICATION. Quels sont les nombres commensurables qui peun vent faire partie d'une progression par quotient ayant pour termes 1 et lOÎ

Si nous nommons - un des nombres cherchés , on doit

avoir, d'après ce qui précède , en désignant par m et n des nombres entiers ,

c'est-à-dire 10*+*=?^.

Le premier membre étant entier, le second doit l'être aussi ,

et comme la fraction ^^ est irréductible , il faut que Ton

ait j = l. De plus, pour que 10*+* soit égal à p*^', il faut que p ne contienne que les facteurs 2 et 5 , et que ces facteurs

164 THSORiS DES PROGRESSIONS.

y soient affcclés d'exposants égaux, ou, en d'autres termes, que p soit une puissance de 10.

Les puissances de 10 sont donc les seuls nombres cpmmensurables qui puissent figurer dans une progression par quotient, dont 1 et 10 font partie.

Somme des termes d'une progression par quotient 14S. Soit une progression par quotient

il Faut évaluer la somme

[1] s=a + b + c+d+ -fA; + /.

£n nommant q la raison , et multipliant par q les deux membres de l'égalité [1] , on obtient

P] Sq = aq'\'bq + cq'\-dq'{'.....+kq + lqi

mais, par hypothèse, aq=zby bq^szc^ cq=df..,.kq = l\ l'égalité précédente devient donc

[3] Sg = ft + c+d-f + k+lq.

Si l'on retranche les deux premiers membres des égalités [1 1 et [3] , on aura le même résultat qu'en retranchant leurs seconds membres , ce qui donne évidenunent

Sq — S = /g — a ou S(g— l) = /g— a,

et par conséquent, S = ^~^.

Remarque 1. Si la progression est décroissante , q est plus petit que 1 , et Ton ne peut plus retrancher S de Sg ; il faut faire la soustraction en sens inverse , et Ton trouve alors

Hais les couvenlions faites sur les nombres négatifs renileut ces formes équivalentes.

THÉORIE DI8 PROGRISSIONS. 165

Remarque II. Si Ton donne seulement le premier terme a d'une progression , sa raison 9, et le nombre n de fermes, il faudra, pour faire usage du résultat précédent, commencer par calculer le dernier terme /, on aura (159) / = ay"^', et, par conséquent,

Limite de la gomme des termes d'une progression par quotient décroissante.

146. La formule qui donne la somme des termes d'une progression décroissante, dont a est le premier terme, / le dernier et q la raison, est

„a—lq

on peut récrire S =

Si le nombre des termes de la progression augmente indéfiniment , ' conserve constamment la même valeur, mais

T-^ peut devenir aussi petit que l'on voudra, à cause du fac-

teiu* / qui décroît sans limite (141); il en résulte que la limite dont s'approche la valeur de S, à mesure que le nombre des

termes augmente , est ^ .

Application. Une fraction décimale périodique peut être con-* sidérée comme une progression décroissante, et la formule précédente lui est applicable.

Soit , par exemple , la fraction périodique

En la séparant en tranclies de deux chiffres à partir de la virgule , on obtient la progression

^ iUU • 100UU • 1000000 • ••••

166 THiORIS THES PE06R18SI0NS.

dont la raison est t^ïï* D'&près la formule précédente , la limite de la somme de ses termes est

ou H,

ce qui est précisément le résultat obtenu dans la théorie des fractions périodiques.

RÉSUME

151. Définition des progressions par différence; progressions croissantes on décroissantes. Définition de la raison. — 132. Un terme de rang quelconque est égal au premier terme augmenté ou diminué d'autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui. — 135. Insertion de moyens par différence. — 134. Si, l^ntre les termes d'une progression, on insère un nombre constant de moyens, on forme une progression nouvelle. — 435. Quel que soit le nombre des moyens insérés, la raison est un diviseur de la différence des termes extrêmes. — 136. Dans une progression par différence , la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante et égale à celle des extrêmes. — 437. Somme des termes d'une progression par différence. — 138. Définition des progressions par quotient. — 139. Un terme de rang quelconque est égal au premier, multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent. — 140. Les termes d'une progression par quotient croissante peuvent dépasser toute limite. — 141. Les termes d'une progression décroissante peuvent décrottre audessous de toute limite assignée. — 142. Insertion de moyens par quotient. — 145. Si on insère un nombre constant de moyens entre les termes consécutifs d'une progression par quotient , on forme une progression nouvelle. — 144. Recherche d'une progression dont fassent partie des nombres donnés. Cas dans lesquels une telle progression n'existe pas. — 145. Somme des termes d'une progression par quotient. •^ 146. Limite de la somme des termes d'une progression décroissante.

EXERCICES

I. Quelles sont les progressions par différence dans lesquelles la somme de deux termes quelconques fait partie de la progression ; et les progressions par quotient dans lesquelles le produit de deux termes fait partie de la progression ?

II. Si dans une suite de nombres chacun est la demi-somme de ceux qui le comprennent, ces nombres forment une pro-

THÉORIB DBS PROGRESSIONS. 167

gression par différence, et si chacun est moyen proportionnel entre les deux qui le comprennent , ils forment une progression par quotient.

III. Dans quelles progressions par différence existe-t-il un rapport indépendant de n entre la somme des n premiers termes et la somme des n suivants ?

IV. v^, v/5 et v^7 peuvent-ils faire partie d'une même progression par différence ou par quotient ?

V. Si on prend la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, .... et qu'on la sépare en groupes dont le premier ait un terme, le second deux termes, le troisième trois, etc., la somme des termes d'un même groupe est un cube.

VI. Si on considère la suite 1, 2, 4, 6, 8, 10 .... la somme des n premiers termes est impaire et augmentée des n — 1 nombres impairs suivants , elle donne un cube.

VII. Dans une progression géométrique de six termes , la différence des termes extrêmes est plus grande que six fois la différence des termes du milieu.

VIII. Si on ajoute termes à termes deux progressions géométriques qui n'ont pas même raison , les résultats ne formeront pas une progression , mais chaque terme pourra se déduire des deux précédents, en les multipliant par des nombres constants et ajoutant les produits.

IX. On forme une suite de termes tels que chacun soit la demi-somme des précédents; connaissant, les deux premiers termes de cette suite, trouver de quelle limite on s'approche lorsqu'on en forme un nombre de plus en plus grand.