CHAPITRE XIII
Définitions.
147. Quand on considère deux progressions, Tune par différence commençant par 0, l'autre par quotient commençant par l'unité, les termes de la procession par différence sont nommés les logarithmes des termes de même rang dans la progression par quotient.
Rbmauqoe. Le logarithme d'un nombre considéré isolément, est tout à fait arbitraire. Si l'on demande : quel est le loga-> rithme de 3? cette question n'a aucun sens tant que l'on n'a pas choisi les progressions qui définissent le système dont on veut parler.
148. D'après la définition précédente, lorsque l'on a choisi les deux progressions qui définissent un système de logarithmes, il semble que les nombres qui ne font pas partie de la progression par quotient n'ont pas de logarithmes ; nous allons voir comment, en étendant cette définition, on est conduit à regarder chaque nombre plus gran4 que l'unité comme ayant un logarithme. Nous considérerons spécialement le système qui résulte des progressions
tO. 1.2.3
C'est le seul dont on fasse usage dans les applications numériques.
Supposons qu'entre deux termes consécutifs de chacune de ces progressions on insère un même nombre de moyens. On obtiendra (154, 145) deux nouvelles progressions dans lesquelles les termes des progressions primitives se correspondront encore , et les termes nouvellement introduits dans la progression par quotient, auront pour logarithmes les termes de même rang introduits dans la progression par différence.
149. Remarque. Pour que la définition donnée (148) soit admissible , il faut montrer que si , en insérant des nombres différents de moyens, on amène, de deux manières différentes, un même nombre à faire partie de la progression par quotient, on lui trouvera des deux manières le même logarithme.
Supposons que l'on ait d'abord inséré p moyens entre les divers termes des deux progressions
ff 1 :10:100....
la raison de la progression par quotient deviendra (142)
" V^ÏÔ, et celle de la progression par différence .
En sorte que , l'un quelconque des termes de la première ,
sera (''Vl0)*et le terme correspondant de la seconde -^J
k désignant un nombre entier.
Supposons que Ton insère entre deux termes consécutifs des progressions primitives , un autre nombre p' de moyens , un
terme quelconque de la progression par quotient sera C^Vl^)*'»
kf et son logarithme , . ; nous voulons prouver, que si Ton a
r ,1 [1] (7ï5).= (''7ïô>';
on aura ainsi
Si, en effet, nous élevons les deux membres de la première de ces égalités à la puissance (|) + î) >^ (p'+ 1), nous aurons :
. car, pour élever C^io) à la puissance k, puis à la puissance (p-f-l)X(p' + l), il suffit de le prendre comme facteur un nombre de fois égal à A;x(/?+ 1)X (p' + l), et, pour cela, on peut l'élever d'abord à la puissance p + 1, puis élever le résultat, qui est 10, à la puissance A;X(p'+l).
THiORIX iliMBllTÀlR£ DBS LOOÂIITHMIS. 171
L'égalité [3] entraîne évidemment :
et par suite,
Donc, si l'on peut introduire un même nombre de deux manières différentes dans la progression par quotient^ on lui trouvera des deux manières le même logarithme.
ittO. Si l'on calcule des logarithmes en insérant un certain nombre de moyens entre les termes consécutifs des deux progressions, puis que Ton en calcule d'autres en insérant un autre nombre de moyens, ces divers logarithmes peuvent être considérés comme faisant partie d'un seul et même système. Pour le prouver, remarquons que si entre les termes consécutifs de la progression par quotient on insère p-—l moyens, puisj}' — 1 moyens, tous les termes obtenus dans l'un et Tautre cas, font partie d'une seule et même progression, que l'on obtiendrait en insérant pXp' — 1 moyens.
Si , en effet , entre deux termes a etb d'une progression , on insève pxp' — 1 moyens, le terme b aura, après celle insertion, le p'Xp'^' rang, à partir du second. Si donc, dans la progression ainsi formée, on compte les termes de penpjb sera le ;>'"% et si on les compte de p' en p\ il sera le p"*^ ; les termes ainsi obtenus pourront donc être considérés, dans le premier cas, comme formant jp'—l moyens entre a et b, et dans le second, comme en formant p — 1 . La même remarque s'appliquant à la progression par différence, on voit que les deux systèmes obtenus en insérant p— 1 moyens etjp' — 1 moyens, sont compris dans le système unique qui correspond hpXp' — 1 moyens.
Par exemple, si a et é désignent deux termes consécutifs d'une progression par quotient ou par différence , et que l'on insère entre a et b, trois moyens, puis ensuite cinq moyens, de manière à former les progressions
a. Al, As, As, ô,
a, Bi, Bj, Es, B4, Bs, b.
Si l'on insère ensuite 23 moyens (c'est-à-dire 4X6—1) on
formera une progression nouvelle dans laquelle Ai, A,, As figureront aux rangs 7, 13 et 19, et B,, B,, Bj, B4, B», aux rangs 5, 9, 13, 17 et 21.
Généralilés sur les nombres incommensurables.
18t. Quand deux grandeurs n'ont pas de commune mesure, leur rapport ne peut être représenté par aucun nombre entier ou fractionnaire. Il existe de pareilles grandeurs. Nous savons, par exemple, que si un nombre n'est pas un carré ou un cube parfait, sa racine carrée ou cubique représente une grandeur parfaitement déterminée, qui n'a pas de commune mesure avec l'unité.
Un nombre incommensurable ne peut se définir qu'en indiquant comment la grandeur qu'il exprime peut se former au moyen de l'unité. Dans ce qui suit , nous supposons que cette définition consiste à indiquer quels sont les nombres commensurables plus petits ou plus grands que lui ; on peut alors concevoir la grandeur dont il est la mesure comme servant de limite commune à celles qui sont représentées par des nombres plus grands ou plus petits , absolument comme on l'a indiqué en arithmétique à l'occasion des racines carrées.
Addition et soustracUon des nombres incommensurables.
182. Ajouter ou soustraire deux nombres incommensurables, c'est trouver un nombre exprimant la somme ou la différence des grandeurs exprimées par les nombres proposés.
Multiplication.
183. Si le multiplicateur est commensurable, il n'y a aucune modification à apporter à la définition.
Exemple. Le produit de v^2 par 7, est un nombre exprimant une grandeur 7 fois plus grande que celle qu'exprime v^2. Le produit de v^2 par f , est un nombre exprimant une grandeur égale aux trois quarts de celle qu'exprime v^2.
THEORIE ÉLÉMENTAIEE DES LOGARITUMES. 173
Si le multiplicateur est incommensurable, il faut une définition nouvelle. Nous appellerons produit d*mi nombre A par un nombre incommensurable B, un nombre moindre que le pro«duit de A par un noiûbre commensurable quelconque supérieur à B, et plus grand que le produit de A par un nombre commensurable quelconque moindre que B.
Division.
i$4. Diviser deux nombres A et B Fun par l'autre, c'est trouver un troisième nombre qui, multiplié par le diviseur B, reproduise le dividende A. Cette définition s'applique quels que soient les nombres A et B, commensurables ou incommensurables.
Racines carrées et cubiques.
1KB. La racine carrée ou cubique d'un nombre incommensurable est un nombre qui, pris deux ou trois fois comme facteur, donne un produit égal au nombre donné.
Remarque. La seule opération qui exige une définition véritablement nouvelle est celle de la multiplication, toutes les autres se rattachent à celle-là.
Théorèmes relaUfs aux nombres incommensurables.
186. Théorème L On peut toujours trouver deux nombres commensurables ayant une différence aussi petite que Von voudra et qui comprennent entre eux un nombre incommensurable donné.
Soit n un nombre entier quelconque; si Ton considère la suite
on voit que ses termes augmente sans limite, et comme ils commencent à 0, le nombre donné, quel qu'il soit, est néces-
sairement compris entre deux d'entre eux, - et , et Ton
174 THiORIB ÉLÉMENTAIRE DSS LOGARITHMES.
peut prendre n assez grand, pour que leur différence - soil aussi petite qu'on le voudra.
187. Remarque. D'après le théorème précédent, nous admettrons, comme évident, que les théorèmes suivants, qui ont été démontrés pour des nombres commensurables quelconques, s'appliquent aussi à des nombres incommensurables.
Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut changer l'ordre des facteurs.
Pour multiplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs, on peut le multiplier successivement par ces divers facteurs.
Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier un de ses facteurs par ce nombre.
Pour multiplier un produit par un autre produit, il suffit de former un produit unique avec les facteurs du multiplicande et cefux du multiplicateur.
Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, il suffit d'ajouter les exposants.
Logarithmes incommensurables.
iB8. Les nombres dont les logarithmes sont définis dans les paragraphes précédents, croissent par degrés aussi rapprochés qu'on le veut. Si Ton se bornait cependant à cette définition, une infinité de nombres devraient être regardés comme n'ayant pas de logarit|imes. On sait par exemple (144) que, quel que soit le nombre des moyens insérés dans la progression par quotient ttI : 10:lOO:etc., aucun de ces moyens n'est commensurable. Tous les nombres commensurables peuvent , au contraire « s'introduire dans la progression par différence T 1 . 2 . 3 • 4 . etc., d'où il résulte que les nombres commensurables qui ne sont pas entiers, sont tous des logarithmes de nombres incommensurables.
159. Quand un nombre ne peut pas être introduit dans la progression par quotient, son logarithme se définit de la manière suivante :
Le logarithme d'un nombre N, qui ne peut pas faire partie de la progression par quotient est plus grand que les nombres
THiORIS ÉLiMBNTÀlRE DES LOGARITHMIS. 175
commensurablcs qui sont les logarithmes de nombres inférieurs à N, cl moindre que les nombres cominensurables qui sont les logarithmes de nombres plus grands que N.
Cette manière de définir un logarithme en disant quels sont les nombres commensurables plus grands et plus petits que lui, est, comme on Ta vu, le moyen ordinaire de définition pour les nombres incommensurables.
D'après la définition précédente, il est évident qu'un nombre N étant donné, si l'on insère dans les progressions, un nombre considérable de moyens , deux d'entre eux comprendront N dans la progression par quotient , et leurs logarithmes seront des valeurs approchées du logarithme de N.
Ce procédé pour calculer les logarithmes serait fort long, et nous allons montrer, par un exemple, combien il exigerait d'opérations. Nous verrons, du reste, plus loin, qu'il existe, pour le calcul des logarithmes, des méthodes beaucoup plus rapides.
Exemple. Supposons que l'on demande lé logarithme de 1855. Nous savons que
3 = log 1000
et 4 = log 10000;
donc 3,5 = logv/l000Xl0000=log3162,27766 = loga.
Le logarithme cherché est donc compris entre 3 et 3,5 » en in* sérant un moyen entre 3 et 3,5 dans la progression par diffé^ rence, et un autre entre 1000 et a dans la progression par quotient, nous aurons
é(3+ 3,5)=3,25=logv/ÏÔÔÔâ=log 1778,2794=log 6;
donc, le logarithme de 1855 est compris entre 3,5 et 3,25; en insérant deux nouveaux moyens, on trouve
3,375 = log v^=log 2371,3737 = log(?,
et les nouvelles limites sont 3,25 et 3,375. Une nouvelle opération donne
3,3125 = log v^éc = log 2053,5250 s» log d.
176 THiORlE ÉLÉMENTAIRE DES LOGARITHMES.
La suite des calculs donnera les résultais suivants :
3,5 = loga =log3162, 27766
3,25=logv^iÔÔ5â.= logô = logl778, 2794 ;
3,376 =log yjab = log c =log2371, 3737
3,3126=logv^ =:logd=log2053, 5250
3,28125=logv^W =loge =logl910, 95294
3,265625 = log v/*i = log /* = log 1 843, 42296
3,2734376 = log v^êT = log jr = log 1876, 8843
3,26953125=log y^ = log ^ =log 1860, 0784
3,267ô7812=logv//Â =logi =logl851, 7321
3,26855469 = log v^AT =logA; = log 1855, 9006
3,26806641 =logv^tT = log / =log 1853, 8151
3,26831056 =logv^)W" = log w= log 1864, 8676
3,26843262 =logv/3fcwi. =logn =logl855, 3789.
En comparant les deux derniers résultats, on a
log 1865, 3789.-3.268 43262 log 1854, 8675 = 3.268 31066
Diff. 0.6214 Diff. 12207.
Mais 1865= 1864, 8676 + 0.1426 ;
donc, en admettant que, pour des nombres aussi rapprochés, Taccroissement des logarithmes soit proportionnel à celui des nombres
log 1866 = 3,268 31056 + î^^?27
ou log 1866 = 3,268 34391 valeur exacte.
Propriétés des logarithmes.
160. Théorème I. Le logarithme d'un produit de deux fadeurs est la somme des logarithmes des facteurs.
THBORIK KLEMENTAIRB DES LOCÀRITHMES. 177
Soient les deux progressions :
T U • / • *!/••»• • W# •••• • tilt ••••y
qui définissent un système quelconque de logaritlimes ; les termes de la première sont les puissances de la raison 9, ceux de la seconde , les multiples de la raison r.
Si on multiplie l'un par Tautre deux termes de la progression par quotient, g*" et g", on aura un produit g"»"*"" qui, évidemment, est le (m + « + ^ )"' terme de la même progression ; si l'on ajoute les logarithmes de q^ et g*, qui sont mr et nr, on aura une somme (m -[- ^y qui est, évidemment, le (w -|- « + 1 )"' terme de la progression par différence et, par conséquent, le logarilhme de î"*^; la proposition est donc démontrée.
161. La démonstration précédente suppose que les nombres considérés fassent paitie de la même progression par quotient. Elle est en défaut pour les logarithmes incommensurables définis (IBS). Pour démontrer que , dans ce cas, la proposition est encore exacte, remarquons que si Ton donne deux nombres quelconques N et N', on peut toujours insérer dans les progressions assez de moyens pour que les termes croissent par degrés insensibles et que , par conséquent , il y ait deux termes consécutifs Ni et N'i , qui diffèrent aussi peu qu*on le voudra de N et de N' ; mais on aura (160)
log N, X N'i .= log Ni + log N'i.
Le premier membre différant aussi peu que Ton voudra de logNxN', et le second aussi peu que l'on voudra de log N+ log N', il est impossible que ces deux quantités aient une différence déterminée quelconque , et par conséquent elles sont égales. C'est ce qu'il fallait démontrer.
162. Remarque. Le théorème précédent s'étend à un nombre quelconque de facteurs. Soit, par exemple, un produit de trois facteurs axbxc, on a évidemment :
log(fl X 6 Xf)~log(a X b) x c = log (o X ft) + log(? =
log a -j- log b -f log r.
178 THÊOltlE ÉLÉMBNTâIRB DBS LOGÀRITHMIS»
165. Théorème II. Le logarithme d^ane puissance d^un nombre est le produit du logarithme du nombre par l'exposant de la puissance.
Ce théorème est une conséquence de la remarque précédente. Soit, en effet, aMa puissance considérée, on a :
log«*=slogaXoXoXa = loga + Ioga-|-Ioga-f
Ioga = 41oga.
La démonstration s'applique évidemment quel que soit Texposant.
164. Théorèmb III. Le logarithme cFun quotient est égal au lo" garithme du dividende ^ moins celui du diviseur^
Soit un quotient ? que je désignerai par q ; on aura
a = bXq, donc
loga = log6 + logsr,
ce qui prouve que log q est l'excès de log a sur log 6.
RBM4JiQui.'0n suppose , dans le théorème précédent, que le
quotient ^ soit plus grand que 1 , car les logarithmes des nom-
bres plus grands que 1 ont seuls été définis.
165. Théorème IV. Le logarithme d^une racine d*un nombre est égal au logarithme du nombre^ divisé par F indice de la racine.
Soit la racine ^a que je désigne par r, on a
\/« = r, et , par conséquent ,
d'où Ton conclut (163)
log a = m log fi et, par suite,
1 ^ log a log r = -s—,
ce qu'il fallait démontrer.
