Remarque. Les quatre théorèmes précédents montrent

THÉORIE ÉLBMSNTAIRB DES L0GAR1THMX8. 179

qu'une multiplication peut être remplacée par Taddition de deux logarithmes; une division par la souslraclion de deux logarilhmes, et enfin Textraction d'une racine d'ordre quelcon« que, par la division du logarithme du nombre par Tindice de la racine. Hais il faut, pour profiter de ces simplifications, savoir trouver dans les tables le logarithme d'un nombre donné , et le nombre correspondant à un logarithme donné.

Disposition des tables de logarithmes de Callet.

167. La seule inspection d'un nombre fait connaître la partie entière de son logarithme. Ainsi les nombres de deux chiffres comprisentre 10 et 100 ont des logarithmes compris entre 1 et 2, dont la partie entière est 1. Les nombres de trois chiffres compris entre 100 et 1000 ont des logarithmes compris entre 2 et 3, dont la partie entière est 2 ; et , en général , un nombre de n chiffres étant compris entre 10"^* et 10", son logarithme est compris entre n — 1 et n, et sa partie entière est par conséquent n-1.

On a profité de cette remarque pour se dispenser d'inscrire dans les tables la partie entière , ou , comme on l'appelle souvent , là caractéristique des logarithmes.

168. La première table est toute simple ; elle contient les nombres naturels depuis 1 jusqu'à 1200, disposés suivant leur ordre en plusieurs colonnes » au haut desquelles on voit la lettre N, initiale du mot nombre; h côté et à droite de ces colonnes, on en remarque d'autres, au haut desquelles est écrit Log., initiales du mot logarithmes; de manière que chaque colonne de nombres est immédiatement suivie d'une colonne de logarithmes, et que chaque logarithme est placé à droite et dans Talignement du nombre auquel il appartient. On n'a pas mis de caractéristique aux logarithmes, parce qu'on la coimalt aisément à la seule inspection du nombre.

Cette table est nommée Chiliade I , parce qu'en effet elle contient les logarithmes du premier mille. {Chiliade est un mot grec francisé , qui signifie assemblage de mille unités.)

Les tables suivantes sont un peu plus composées : elles s'étendent depuis 1020 jusqu'à 108000. La première colonne,

qu'on y remarque vers la gauche, est intitulée N, elcontienl les nombres naturels depuis 1020 jusqu'à 10800. La colonne suiyantc, marquée 0, offre les logarithmes qui appartiennent à ces nombres ; en sorte que l'assemblage de ces deux colonnes Torme la suite de la table première, et donne sur-le-champ les logarithmes des nombres depuis 1020 jusqu'à 10800.

Si l'on observe la colonne marquée 0, on verra vers la gauche de cette colonne certains nombres isolés de trois chiffres chacun, qui vont toujours en augmentant d'une unité, et qui ne sont pas à des distances tout à fait égales les uns des autres. Vers la droite de la même colonne, sont des nombres de quatre chiffres chacun, qui ne laissent point d'intervalle entre eux; en sorte qu'on pourrait croire que certains logarithmes n'ont que quatre chiffres, tandis que d'autres en ont sept.

Mais qu'on ne s'y trompe pas, chaque nombre isolé est censé écrit au-dessous de lui-même, et vis-à-vis chacun des nombres de quatre chiffres qui sont dans la même colonne, autant de fois qu'il est nécessaire pour que chaque ligne soit remplie : lors donc qu'on ne trouve vis-à-vis un certain nombre que qualrc chiffres dans la colonne marquée 0, il faut écrire vers la gauche de ces quatre chiffres le nombre isolé de trois chiffres le plus prochain en montant. Au delà de 10000 les nombres isolés ont quatre figures.

Lorsque deux nombres sont décuples l'un de Tautre, leurs logarithmes ont pour différence le logarithme de 10 qui est 1, et par conséquent, leur partie décimale est la même; ainsi l'assemblage des deux premières colonnes dont nous venons de parler, donne aussi de dix en dix les logarithmes des nombres compris entre 10200 et 108000. Pour trouver les logarithmes des nombres intermédiaires, il faut avoir recours aux colonnes marquées 1, 2, 3, 4, etc. Ces colonnes contiennent les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres terminés par les chiffres qui sont en tête de ces colonnes. Ainsi la colonne marquée 0 contient les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres compris entre 10200 et 108000 qui sont terminés par un zéro, et en outre les nombres isolés dont nous avons parlé, et qui sont aussi censés placés à la gauche des chilTres que contiennent les autres colonnes. La colonne marquée 1 contient les quatre derniers chiffres des logarithmes

THiORIB ÉLBMENTAIEB DBS LOGARITHMES. 181

de tous les nombres terminés par 1 ; la colonne marquée 2, ceux de tous les nombres terminés par 2 ; la colonne marquée 3, ceux de tous les nombres terminés par 3 ; et ainsi de suite jusqu'à neuf. On a par ce moyen une table à double entrée, dans laquelle on consulte d'abord la première colonne marquée N; et lorsqu'on y a trouvé les quatre premières figures du nombre dont on veut avoir le logarithme, on suit de Tceil la ligne sur laquelle ils se trouvent, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à la colonne au haut de laquelle se trouve le dernier chiffre du nombre donné; alors on a sous les yeux les quatre derniers chiffres du logarithme cherché. Quant aux trois premiers, ils sont exprimés par le nombre isolé qui se trouve dans la seconde colonne, le plus prochain en mon^nt.

I^a dernière colonne contient les différences de deux logarithmes consécutifs et les parties de ces différences, c*est-àdire les produits de ces mômes différences multipliées par ^ , ni» nî> etc., jusqu'à ^. Ces produits forment autant de petites tables qu'il y a de différences. Chacune de ces petites fables se trouve placée immédiatement au-dessus de la différence dont elle indique les parties. On verra plus loin quel est leur usage.

Mais, comme vers le commencement des tables ces différences se trouvent trop nombreuses , et par conséquent trop près les unes des autres , elles n'auraient pas permis, si elles n'enssent occupé qu'une colonne, de placer les petites tables des parties dans l'intervalle qui se serait trouvé entre elles. C'est pourquoi on les a disposées d'abord sur deux colonnes : la première de ces différences occupe la première colonne; les deux suivantes, sans sortir de la ligne horizontale où elles doivent être placées, sont repoussées à droite et occupent la seconde colonne ; les deux différences qui suivent se trouvent sur la première colonne et les deux suivantes sur la seconde : ainsi de suite. Dans les quatre premières pages , on n'a placé les tables des parties de ces différences que de deux en deux.

Pour rendre ces explications plus claires, nous reproduisons ici l'une des pages de la table de Callet :

THÉOKIK iliMENTAlRB DBS LOGARITHMES.