DIFF

THftORIB ÉLÉIIENTAIRB DES LOOARITHIIIS. 183

On voit dans la table, à gauche de la colonne N, deux autres colonnes, que nous n'avons pas reproduites parce qu'elles n'ont aucun rapport avec la théorie des logarithmes.

Usage des tables de logarithmes.

i09. Problème I. Un nombre quelconque étant donné j trouver son logarithme par le moyen des tables.

Quelle que soit la place qu'occupe dans la suite décimale le premier chiffre significatif d*un nombre, on le considérera d*abord comme s'il était entier, sauf à donner ensuite à son logarithme une caractéristique convenable.

l*' Cas. Si le nombre donné est moindre que 1200, on le trouvera dans la première chiliade, parmi les nombres naturels qui sont dans quelques unes des colonnes marquées N. Le nombre qu'on trouvera à sa droite, sur la même ligne et dans la colonne suivante, intitulée log., sera son logarithme , après qu'on y aura joint la caractéristique qui convient à ce logarithme, laquelle est toujours égale à 0, 1, 2, 3, 4, etc., selon que le premier chiffre significatif du nombre exprime des unités simples, des dizaines, des centaines ou des mille, etc.

2* Cas. Si le nombre donné est compris entre 1020 et 10800» on le cherchera dans la table qui vient après la chiliade 1 , et l'ayant trouvé dans la colonne intitulée N, on consultera lacplonne suivante marquée 0. Si Ton y voit sept chiffres de front dans l'alignement du nombre naturel, on aura tout d'un coup la partie décimale du logarithme cherché; mais si l'on n'y trouve que quatre figures, elles donneront les quatre derniers chiffres de la même partie décimale ; ensuite on remarquera qu'il règne à leur gauche une marge ou espace blanc; on suivra cette marge en montant, et le premier nombre de trois chiffres qu'on y rencontrera, exprimera les trois premières figures de la fraction décimale du logarithme cherché. Ecrivant donc ce nombre vers la gauche des quatre chiffres qu'on a déjà trouvés, on aura un nombre de sept chiffres comme ci^dessus : enfin on y joindra une caractéristique convenable. Par exemple à côté de 7680, je trouve 8853612 sur la même ligne et dans la colonne marquée 0 ; j'ai donc tout d'un coup la partie décimale du loga-

rithme que je cherche ; il ne me reste plus qu'à y joindre la caractéristiques. Si le nombre étail 7,680, la caractéristique serait zéro; elle serait 1, si le nombre était 76,80; 2, s'il était 768,0. A côlé de 7695, dans la colonne marquée 0, je ne trouve que 2086; mais en suivant la marge, le premier nombre que je rencontre en montant est 886; mon logarithme est donc 3,8862086. Le nombre ayant cinq figures , s'il était moindre que 10800, on trouverait de même son logarithme.

3* Cas. Si le nombre est compris entre 10000 et 108000, c'est-àdire s'il y a cinq chiffres significatifs, on fera pour un instant abstraction du dernier, et Ton cherchera, comme ci-dessus, le nombre qu'expriment les quatre premiers. On suivra de l'œil la ligne sur laquelle on l'aura trouvé, en la parcourant de gauche à droite jusqu'à ce qu'on soit dans la colonne en haut de laquelle est écrit le cinquième chiffre dont on a fait abstraction. Les <]uatre figures qui sont tout à la fois dans l'alignement des quatre premiers chiffres du nombre donné, et dans la colonne qui répond au cinquième, exprimeront les quatre dernières décimales du logarithme de ce nombre. Quant aux trois premières, on les trouvera, comme ci-dessus , en remontant le long de la marge de la colonne intitulée 0. Soit, par exemple, 772,37 dont on veut le logarithme, je cherche 7723 dans la colonne N, je ne vois rien dans son alignement à la marge de la colonne 0; mais un peu plus haut, je rencontre 887 dans cette marge; je parcours la ligne du nombre 7723, et je m'arrête à la colonne marquée 7, sur laquelle et dans l'alignement de 7723, je trouve 8254. La par ^e décimale de mon logarithme est donc 0,8878254 et ce logarithme est 2,8878254. Si le nombre était compris entre 100000 et 108000, on trouverait de même son logarithme.

170. Les expHcations très-dé taillées qui précèdent, donnent le moyen de trouver le logarithme d'un nombre entier moindre que 108000 et celui d'un nombre décimal , dont les chiffres , abstraction faite de la virgule, expriment un nombre inférieur à cette limite. Pour trouver le logarithme des nombres plus grands, on remarque qu'en les divisant par une puissance convenable de 10, on pourra toujours les réduire à être compris dans les Hmites de la table ; or, une pareille division diminue le logarithme d'un nombre entier d'unités, et ne change pas,

TBiORlB ÉLÉMBNTAIRB DES L0GARITHIIB8. 185

par conséquent, sa partie décimale. Le problème se réduit donc à trouver le logarithme d*un nombre qui n*est pas entier, inférieur à 108000. Pour cela, on admet que, dans des limites peu éloignées , raccroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres. Soit donc un nombre 76807,753, on dira :

le logarithme de 76807 est 4,8054008 celui de 76808 est 4,8854065

leur différence indiquée dans la table est 57 (unités décimales du

septième ordre), par conséquent : le nombre augmentant d'une

unité, son logarithme augmente de 57, s*il augmente de 0,753,

son logarithme augmentera d'une quantité x^ déterminée par

la proportion

d'où a: = 57X0,753.

Dans la multiplication de 57 par 0,753, il ne faudra prendre que la partie entière du produit, car la partie décimale exprimerait au plus des dixièmes d*unilé du septième ordre, c'est-àdire des unités du huitième ordre, que Ton néglige dans la valeur des logarithmes.

Pour multiplier 57 par 0,753, on le multipliera successivement par 7, 5 et 3; ces produits se trouvent tout calculés dans le tableau placé au-dessous de 67, dernière colonne à droite de la table. Us sont réduits aux chiffres que Ton doit conserver, en supposant que le multiplicateur exprime des dixièmes. Ainsi, vis-à-vis de 7, on trouve 40, au lieu de 39,9 qui serait le produit exact ; vis-à-vis de 5, on trouve 29 au lieu de 28,5 ; vis-à-vis de 3, on trouve 17 au lieu de 17,1. Dans le cas actuel, 5 exprimant des centièmes, le produit correspondant sera 2,9, auquel on substituera 3 ; 3 exprimant des millièmes, le produit correspondant devra être divisé par 100, il exprimera alors 0,17, et on le négligera.

La valeur de a?, 57X0,753, sera, d'après cela, 43, et pour avoir le logarithme demandé, il faut ajouter au logarithme de 76807, 43 unités du septième ordre, ce qui fera 4,8854051.

Si l'on voulait le logarithme de 76807953, il serait évidemment 7,8854051. En général, pourvu que Ton conserve les mêmes chiffres, à quelque place que Ton mette la virgule, la partie décimale du logarithme reste la même.

IS6 TBioaiB BLÉMBNTÀIRE OBS LOGARITBMES.

t7i. Problème II. Un logarithme étant donnée trouver par le moyen des tables le nombre auquel il appartient.

1" Cas. Si le logarithme se trouve parmi quelqu'un de ceux de la première chiliade , on aura sur-le-champ le nombre qui lui correspond ; ce nombre sera dans la colonne marquée N qui précède immédiatement celle qui contient le logarithme donné, et dans Talignement de ce logarithme.

2* Cas. Si le logarithme ne se trouve pas dans la première table , on cherchera les trois premières décimales de ce logarithme parmi les nombres isolés quej'on voit dans la colonne marquée 0 de la seconde table, et les ayant trouvées, on cherchera les quatre dernières figures du logarithme parmi les nombres de quatre chiffres qui sont dans cette même colonne en descendant. Si l'on y trouve ces quatre dernières figures, on verra le nombre cherché dans la colonne marquée N, et sur tour alignement.

S* Cas. Si Ton ne trouve pas dans la colonne marquée 0 les quatre deniières figures du logarithme donné, on s'arrêtera à celles qui en approchent le filusen moins; ou suivra la ligne sur laquelle on se sera arrêté, en la parcourant de gauche à droite ; et si Ton trouve dans cette ligne les quatre dernières figures du logarithme donné , on suivra en montant ou en descendant la colonne dans laquelle on les aura trouvées ; le chiffre qu'on verra à la tête ou au pied de cette colonne, sera la cinquième figure du nombre cherché, dont les quatre premières se trouveront, conune ci-dessus, dans la colonne marquée N.

Veut-on savoir , par exemple , à quel nombre appartient le logarithme qui a, pour partie décimale, 8871276, je cherche 887 parmi les nombres isolés de la colonne marquée 0 ; je parcours en descendant la même colonne, et je trouve que 1107 approche le plus en moins de 1276; je suis la ligne qui commence par 1107, et je trouve 1276 sur cette ligne; je monte dans la colonne qui contient 1276, je trouve le chiffre 3 à la tête de cette colonne; je reviens à 1276, et je vois que la ligne où il se trouve répond au nombre 7711 ; j'écris ce nombre, et à sa droite le chiffre 3 que j'ai déjà trouvé : ce qui me donne 77113. C'est le nombre qu'il fallait trouver.

THiORn iLiMBNTÀIRB DBS LOGÀEITHMIB. 187

4* Cas. Le logarithme donné ne se trouvant dans aucun des cas précédents, pour avoir le nombre auquel il appartient, on cherchera, comme ci-dessus, le logarithme qui en approche le plus en moins. On cherchera le nombre entier correspondant, ce nombre et le suivant comprendront le nombre cherché et Ton cherchera la différence avec un de ces nombres entiers, à Faide de la proportion admise (170).

ExEMPLB. Soit à chercher le nombre dont le logarithme a pour partie décimale 8870279. On trouvera, comme il a été dit, que ce logarithme est compris entre 8870262 et 8870318, qui répondent aux nombres 77095 et 77096, la différence de ces deux logarithmes est 57 unités du dernier ordre, et le logarithme donné surpasse le plus petit des deux de 17 unités du même ordre; on dira donc, à une différence 57 entre les logarithmes correspond une différence 1 entre les nombres, donc à une différence 17 doit correspondre entre les nombres une différence^ déterminée par la proportion

d'où l'on conclut a:=^, et, par suite, le nombre cherché est 77095 + ^, ou, en réduisant en décimales, 77095,29.

Rbmârqub I. Si l'on retranche l'un de l'autre les deux logarithmes consécutifs 8870262 et 8870318, on trouve pour différence 56 et non 57. On peut adopter néanmoins la différence 67 donnée par Callet, qui, à cause des chiffres décimaux non écrits dans la table, est peut-être aussi près de la véritable que 66.

172. Remarque II. Nous ne pouvons pas indiquer ici la limite de Terreur que Ton peut commettre, en supposant l'accroissement des logarithmes proportionnel à celui des nombres. Nous ferons observer seulement que l'inspection des tables montre que cette proportionnalité est à peu près exacte dans des limites assez écartées. La différence de deux logarithmes consécutifs varie, en effet, très-lentement, et, au degré d'approximation que donnent les tables , elle reste souvent constante pendant plusieurs pages ; il en résulte évidemment que, pour les nombres entiers compris dans ces pages, l'accroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres.

188 THÉORIE ÉLÉMENTAIRB DES LOSARITHMES.

Application de la théorie des logarithmes. .

175. Quand un nombre inconnu résulte de multiplications, divisions, extractions de racines ou élévations aux puissances effectuées sur des nombres donnés, pour déterminer sa valeur, on cherche celle de son logarithme, qui résulte d'opérations beaucoup plus simples; le logarithme étant connu, le nombre correspondant se délermine comme il a été dit (i70).

174. Remarque. Diaprés nos définitions, les nombres plus grands que Tunité ont seuls des logarithmes. Il est donc essentiel que les nombres sur lesquels on opère remplissent tous cette condition ; on pourra toujours faire que cela ait lieu , en remarquant que pour multiplier un nombre par un nombre a

moindre que Tunité, on peut le diviser par le nombre - qui est plus grand que 1, et pour le multiplier par a, on peut au contraire le diviser par -.

Si le nombre que Ton veut calculer était lui-même moindre que 1, nos définitions ne lui assigneraient pas de logarithme. Dans ce cas , on le multiplierait par une puissance de 10 assez considérable, pour que le produit surpassât Tunité; on apphquerait alors la méthode précédente, et on diviserait le résultat par cette puissance de 10.

Exemple I. Calculer l'expression

a? = (^13572Xi>r)*, on écrit cette expression :

et l'on a log a? = | (log 1 3672 — log 1 1 ),

en cherchant dans les tables log 13!)72 et log 11, on obtient

log a? = fX 3,091 2512 = 2,060 8341,

d'où a? =115,03608.

TflftORIS SliMENTAlRB DES LOGARITHMES. 189

Exemple II. Calculer

X étant plus petit que 1, on le multipliera par une puissance de 10, 10*, et l'on aura

et, par suite,

log (10" X a?) = n - i (log 375 + log ^^¥^5?) •og WïiP ^t égal à 4 — log 5142, on a donc

log(10\x)=n — |(log375— log5142 + 4),

ou log (10*. a?) = n — i X 2,862 3992.

En prenant ici n = 1 , la soustraction indiquée dans le second membre pourra s'effectuer ; on aura

log 10a: =1—0,572 5798 = 0,427 4202;

donc 10a? = 2,675594

et a: = 0,267 5694.

Des caractéristiques négatives.

175. D'après nos définitions, les nombres plus petits que Tunité n'ont pas de logarithmes, et pour étendre jusqu'à eux le bénéfice de ce procédé abrégé de calcul, on doit les multiplier par une puissance convenable de 10 (174). Mais il a été démontré, qu'en multipliant un nombre par 10*, son logarithme s'accroît du logarithme de 10*, c'est-à-dire de n unités; si nous voulons étendre ce théorème aux nombres plus petits que 1 , nous obtiendrons les définitions suivantes :

Le logarithme d'un nombre A , moindre que 1 , est égal au logarithme du produit Ax 10*, que Ton peut toujours rendre plus grand que 1, diminué de n unités; le nombre n étant toujours entier se retranchera de la caractéristique qui deviendra seule négative, et la partie décimale restera positive.

190 THtOftU ÉLÉIISNTAIRI DBS L0GARITHMB8.

;, Emploi des compléments.

176. Lorsque » dans les calcul? logarithmiques , on est conduit à faire une soustraction , on la transforme le plus souvent en addition, au moyen de Tartifice suivant On a identiquement :

a— ft=a+(10 — 6)— 10.

Il suffit donc, pour calculer la difTérence a— &, d'ajouter à a le complément àe b k 10, et de retrancher 10 du résultat. La formation du complément 10 — ô n'est jamais difficile, car les chiffres de ce complément sont les compléments à 9 de ceux de b, sauf le dernier, qui est le complément à 10 du dernier chiffre de b.

ExBMPLB. Former la cinquième puissance iJV* On a :

log 2 =0,30103000

log 37 = 1,56820172

comp log 37 i= 8,43179828

log A s:^ 2,73282828

log i^)" = 5 log (iV)= 7,66414140 ,

et l'on en déduit

log {^f =: 0,0000004614678.

Dee différents systèmes de logaritlimes.

177* On peut choisir à volonté deux progressions par différence et par quotient, commençant Tune par 0, l'autre par Tunité ; elles fourniront un système de logarithmes qui jouira de toutes les propriétés démontrées (160). Ces systèmes en nombre infini sont liés les uns aux autres par ime loi trèssimple qui résulte du théorème suivant :

THiORÈMS. Le rapport des logarithmes de éeu» nombres est le mime dans tous les systèmes.

Soient, en efifet, A et B deux nombres quelconques, et — la

THÉORIE iLtiiBNTAiRE DBS LOOARITItflS. 191

fraction à termes entiers qui, dans un certain système, représente le rapport de leurs logarithmes, on aura >

logA m ïôgB^n' •

et par suite n log A = m logB ,

ou bien, log A* = log B~,

d'où Ton conclut A* = B" ;

mais quel que soit le système de logarithmes adopté, il résulte de cette dernière égalité

log A* = log B*,

et| par conséquent, n log A = m log B,

ou, ce qui reyient au même,

logA__m logB"~n*

Le rapport des deux logarithmes est donc, dans un système quelconque, le même que dans le système primitif.

RsMARQUE I. La démonstration précédente suppose que le rapport des deux logarithmes considéré soit commensurable. S'il n'en était pas ainsi , on pourrait en considérer deux autres aussi peu différents que l'on voudrait des premiers, et qui rempliraient cette condition, le théorème précédent s'y appliquant, quelque rapprochés qu'ils soient des deux logariûimes propo* ses , nous admettons , conmie évident , qu'il s'applique aussi à ceux-ci.

Remarque II. Si A et B désignent deux nombres quelconques et qu'on représente leurs logarithmes pris dans deux systèmes différents , par log A, log B, log" A, log' B, on a , d'après le théorème précédent,

logA logVA log B"" log' B'

d*où Ton conclut aisément

logVA log[B log A log B*

et 9 par conséquent, pour obtenir log' Â et log' B, il faudrait multiplier log A et log B par un même nombre, c'est-à-dire que, pour obtenir les logarithmes des différents nombres dans un système quelconque^ il faut multiplier par un nombre constant les logarithmes pris dans un autre système» ^

178. Il résulte du théorème précédent, qu*une table de logarithmes étant construite, on pourra en construire une seconde, pourvu que Ton connaisse un seul des logarithmes du nouveau système. Il suffira, en efTet, de multiplier les logarithmes du premier système par le rapport de ce logarithme connu au logarithme correspondant du premier système.

Pour définir un système de logarithmes, on donne ordinairement le nombre qui a pour logarithme Tunité. Ce nombre se nomme base du système. La base du système dans les tables de Callet est 10.

179. D'après ce qui précède, les tables calculées pour le cas de la base 10 permettent de calculer un logarithme dans un système quelconque. Soit proposé, par exemple, de calculer le logarithme de 7698 dans le système dont la base est 12. On trouvera dans les tables de Callet que, dans le système dont la base est 10 :

Le logarithme de 12 est 1,07918125, Le logarithme de 7698 est 3,8863779.

Dans le système dont la base est 12 :

Le logarithme de 12 est 1, Le logarithme de 7698 est ar,

et, par suite (177),