llïogbll »3979400i
et, par suite,
Application des logarithmes aux questions d'intérêt. — Intérêts composés.
181. Si le faux de l'intérêt est tel que t fr. rapporte, en un an, un intérêt représenté par r, une somme quelconque A rapportera dans le même temps Ar, et deviendra par conséquent A (1 + r).
Si cette somme A(l-f r) est placée pendant une seconde année, elle deviendra évidemment
A(l+rA
Cette nouvelle somme, placée pendant une troisième année, se multiplie encore par (l+'')> ^t deviendra
Et, en général, la somme placée se multipliant chaque année par (1 -j- r), deviendra, après n années,
A(l + rr.
On a donc , en désignant par S le montant d'un capital A, placé pendant n années, à intérêts composés,
[1] S = A(l+rr.
M 4 THiom ÉLÎMINTAIEB DBS LOGARCTEMBS.
Cette formule sert à résoudre plusieurs problèmes pour lesquels remploi (les logarithmes est indispensable :
1"* Que devient une somme donnée, placée à un taux donné, pendant un temps donné ?
2'» Quelle somme faut-il placer aujourd'hui pour obtenir une somme déterminée après un nombre d'années donné ?
3"" Un capital donné a été placé aujourd'hui ; après n années il a produit une somme donnée. Quel est le taux de Tintérêt ?
4® Pendant combien de temps faut-il placer un capital donné pour produire une somme donnée?
En un mot, on peut, dans Ta.formule [1], prendre pour inconnue l'une quelconque des quatre lettres S, A, r, n qu'elle renferme. Il sufBt de donner un exemple de chacun des problèmes.
ExBMPLB I. Calculer le montoiit d'un capital de 8000 fr. au bout de 39 ans, l'intérêt étant de 4 ^ pour 100.
S=A(l-f rr,
log (1 +r) = log 1,045 = 0,019 11629 log.(l+r)*=39.1ogl,04«=0,745 6863 logA=s log 8000=8,903 0900
log S =4,648 6253 8=44527,19...
ou le montant du capital sera de 44527 fr. 19 c.
ExBMPLB n. Un centime ayant été placé au commencement de Vère chrétienne à 5 pour 100, que deviendrait-il au commencement de l'année 1855?
s=Aa+rr
log(l + ^)'=s logl,05 = 0,02111892901 log.(l+rr=1865aogl,06==:39,806 1498
logA^ 2
log 8 = 37,306 1498 d'où S = 20337174 X 10^ fr. (approximativement) , nombre de 38 chiffres.
raiOEIl iLiMBNTAIRE DBS LOGARITHMIS. 196
Afin de représenter cette somme sous une forme plus appréciable, calculons les dimensions d'une sphère en or qui équivaut à la somme indiquée; la densité de Tor étant 19,5 , et le prix du kilogramme d'or étant de 3444 ^ fr.
Nous aurons alors :
Rayon de la sphère en mètres = x , Volume de la sphère = -«— ,
Poids de la sphère en or = -5- X 19500 kilogr.,
Valeur en francs = -^ X 19500 X 8444 } fr.
Donc S = ~2xi9500X3444f,
et par conséquent ^=^ 4^ ^ 19500 x 3444 f
log S = 37,306 1498
log 3 = 0,477 1213
— 10 + comp log 4 = î,397 9400
— 10 + comp log it = î,602 8601
—10+ comp log 19500 = 6,709 9654
— JO + comp log 3444 f — 4,462 8808
log a^ = 28,856 9074 log x= 9,618 9691,
d'où X = 4158 810000 mètres.
Ainsi donc, le rayon de la sphère en question est de phia de 4158 millions de mètres, et son volume serait par conséquent plus de 278 millions de fois plus grand que celui de la terre.
Exemple III. Quelle esl la valeur actuelle d*une somme de 7220 fr. payable dans 88 ans, Finlérêt étant à 6 pour 100 ?
196 THiOail iLiMENTAlRB DES LOGARITHMSS.
log (1 + r) = log 1 ,06 = 0,021 18930 n . log (1 + r) = 33 . log 1 ,06 = 0,699 2469
compl =9,300 7631 log S = 3,868 6372
log Â= 3,169 2903 A=l443fr. 8 c.,
et cette somme deviendra , par accumulation des intérêts à 6 pour 100 et pendant le temps indiqué ci-dessus, 7220 fr.
Exemple 1Y. Une somme de 28 896 fr. a été placée aujom*d'bui ; au bout de 73 années elle a produit 260 000 fr. : quel est le taux de l'intérêt?
=-'+Vl-
log S = log 250 000 = 5,397 9400 loi? A= log 28 895 = 4,460 8227
log| = 0,937 1173
Le taux de l'intérêt est donc de 3 pour 100.
ExBMPLB y. En combien de temps un capital de 7700 ir. devient il 42 850 fr., l'intérêt étant à 4 pour 100?
log S— log A log(l + r)
log S = log 42850=4,631 9608 log A = log 7700 = 3,886 4907
log S — log A =0,745 4601
THÉOMl iLiMBNTAIftB DIS UMAUTHMIS. IK
log (1 + r) = log 1 ,04 = 0,017 0333
= 43-,7648 o« n= 43 ans S79 jours.*
 l'occasion de cette dernière solution, nous ferons une re^ marque importante. ^
La formule S = A(l + r)»
suppose essentiellement, d'après la manière dont on Ta démontrée, que n soit un nombre entier et positif; mais on verra plus loin que cette formule s'applique encore lorsque n est fractionnaire , et l'on peut , par conséquent , accepter la solution fractionnaire qui résulte du calcul précédent.
Théorie des annuités.
182. Une annuité [est une rente payable pendant un nombre limité d'années.
Problèbib. Calculer la valeur actuelle d'une anmiité de a francs ^ payable pendant n ann^s^ le premier payement devant avoir lieu dans un an.
n francs payables dans k années valent aujourd'hui
( ar la somme . . .t , placée pendant k années , deviendrait (I0A), après ce temps,
^ rï.(l + r)*, c'est-à-dire a. ^
D'après cela , on peut déterminer la valeur actuelle de chacun des payements dont se compose l'annuité. Le premier payement, qui doit avoir lieu dans un an , vaut
viujourdTiui
198 THtOBlB ÉLiHElfTAlRC DKS LOGÀRITHIIIS.
Le second payement, qui doit a?oir lieu dans deux ans, vaiil aujourd'hui
Le ti*oisième payement vaut
et le ^"S ,. , ,-.
La valeur actuelle de tous ces payements sera donc
^ l+r^(l+r)*^*'"^(l+rr'
c'est-à-dire , en appliquant la formule de sommation des progressions par quotient,
Si n deTiebt infini , on a
Taleiir de la rmte perpétuelle.
Remarque. La formule [2] peut s'obtenir d'une autre manî^, et se déduire sans calcul de la formule [1] (181).
Supposons, en effet, qn^un individu prête à un autre un capital - pendant n années. Le. débiteur devra, chaque année, payer un intérêt a , et à la fin il devra encore la somme empruntée -. Concevons que cet intérêt a soit versé , au moment
où il est dû, entre les main^ d*une personne tierce chargée de le faire valoir ; cette personne recevra ainsi une annuité a, peu-
THÉORIE ÉLÉMENTAIM DBS LOGÀRlTHim. 199
dant n années consécutives, et la valeur totale de cette annuité
est évidemment ce dont le capital - s*est bonifié pendant n années.
On a donc
-(1 + r)''= - + une annuité a payable pendant n années,
d'où Ton déduit, pour valeur de l'annuité,
et, si Ton remarque que la valeur des sommes a été calculée au moment du »"• payement , pour avoir la valeur actuelle de Tannuité, il faut diviser le résultat précédent pour (1 +r)*, ce qui donne bien la formule écrite plus haut.
La formule [2] sert à résoudre quatre problèmes différents , suivant que l'on prend pour inconnue Tune ou Tautre des quatre lettres qui y entrent.
Exemple 1. Quelle est la valeur actuelle d'une annuité de 825 fr., payable pendant 37 ans, l'intérêt étant à 4^ pour 100 f
log (1 +f) = log 1,045 = 0,019 11629 log (1 + r)* = 37 . log 1 ,045 = 0,707 30273
— 10 + comp = 1 ,292 69 727 log a = log 825 = 2,916 45395
— 10 + comp log r = 1,346 78 749
■» ■ Il .. ■. 1,1 , - ■ ■
log -TT-f^^ss 3,565 9387
® r(l + rr '
' ), 1 ,.= 3596,985 r(l + rf
800 THiORIB ÉLÉMBIfTAIEB DBS L0GAR1THMBS.
Donc la valeur actuelle de Tannuité est de 14736 fr. 35 c.
ExBMPLB II. Quelle est l'annuité qui amortit en 51 ans une somme de 34600 fr., l'intérêt étant à 4 pour 100? On déduit de Téquation [2]
Ar
log (l +r)=:Iog 1,04=0,017 03334 log(l+rr = 51.1og 1,04 = 0,868 70034
\og ^^^,=-5U\oglM = hm 29966
ii+ry
1 — ,T-T-Tn= 0,864 6994.
Mais Ar = 34600 ;5ô= 1384 ;
et la somme d'amortissement est de 1600 fr. 55^ c.
ExBMPLB in. En combien de temps une somme de 261 069 fr. sera-t-elle amortie par une annuité de 10000 fr., au taux de 3^ pour lOOT
La formule [2J donne immédiatement
logg— log(a— Ar)
log(l+r) •
Le problème n'est possible que lorsque {a — Ar) est positif, car les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes réels.
Ar = 261069 Xj^ = 8484,7425
a — Ar= 1515,2575 log(a — Ar) = 3,180 4864 loga— log(a— Ar) = 0,819 5136.
log(l+r)= 0,01389006.
THÉORIB ÉLÉMENTAIRB DES LOOAKITHIIIS. SOt
la somme donnée sera donc amortie par 59 annuités.
Si Ton avait trouvé pour n un nombre fractionnaire, il aurait fallu conclure que le problème est impossible, mais qu'un nombre d'annuités, égal au nombre entier inférieur, n'acquitterait pas la dette, tandis qu'une annuité de plus serait plus que suffisante.
Exemple IV. On place, au commencement de chaque année une somme de 50 fr. au taux de 6 pour 100 : quelle sera la valeur au bout de 24 ans?
Au moyen des formules [1] et [2] , on obtient
log (1 + r) = log 1,06= 0,025 30587 log(l + r)*+» = 25. log 1,06=0,632 6467
et ^[(l+rr*-(l + r)] = |5gX3,23l 371
La valeur totale de toutes ces annuités sera donc, au bout de 24 ans, 2693fr. 22ic.
RÉSUMÉ
147. Définition des logarithmes au moyen de deux progressions. — 148. Extension de la définition aux termes que Ton peut introduire dans les progressions par insertion de moyens. — 149. De quelque manière qu'un nombre arrive à faire partie de la progression par quotient, son logarithme sera toujours le même. — i^O. Les logarithmes calculés en insérant différents nombres de moyens font partie d'un même système ; il suffît que le nombre de moyens insérés entre deux termes, de la progression par différence soit le même qu'entre deux termes de la progression par quotient. — 151. Définition des logarithmes des nombres qui ne peuvent pas faire partie de la progression par quotient; — 152. Les nombres commensurables autres que les puissances de 40
sot thAmhb iLÉniTAiiE des LOGAimnos.
ont des logarithmes ÎDCommensiirables. — 1^3. Le logarithme d'uD prodoit de deux facteors est la somme des logarithmes des facteurs. — 11^. La proposition s'étend aux logarithmes incommensurables. — 12(5. Le théorème s'étend à on nombre quelconque de facteors. — 156. Logarithme d'nne paisBance. — 157. Logarithme d'nn quotient. — 158. Logarithme d'mie racine. — 159. Les théorèmes précédents ramènent les opérations à d'antres plus simples , pourvu que Ton sadie faire usage des tablas de logarithmes. — 160. La seule inspection d'an nombre fait connaître la partie entière ou Caractéristique de son logarithme. — 161. Disposition des tables de Callet. — 162. Usages des tables pour trouver le logarithme d'un nombre compris dans la table. — 163. Pour trouver le logarithme d'un nombre non compris dans la table, on suppoâe l'accroissement des logarithmes proportionnel à celui des nombres. — 164. Moyen de trouver le nombre correspondant à un logarithme donné dans le cas oh le logarithme n'est pas dans la table ; on fait encore usage de la proportion admise plus haut. — 165. L'inspection des tables prouve que cette proportion est à peu près exacte. — 166. Moyen d'effectuer par logarithmes les multiplication, division, élévation aux puissances , etc. — 167. Les nombres sur lesquels on opère doivent être plus grands que l'unité ; moyen de faire en sorte que cela ait lieu. — 168. Le rapport des logarithmes de deux nombres est le même dans tous les systèmes. — 169. Cas où les deux logarithmes sont inconmiensurables. — 177. On en conclut qu'une table de logarithmes étant construite, il suffira, pour en former une seconde, de multiplier tons les termes de la première par un même nombre. — 178. Pour construire une table, il suffit donc de connaître le logarithme d'un seul nombre. — 179. Application numérique. — 180. Chercher la base d'un système d'après un seul logarithme supposé connu. -^ 181. Formule qui donne la valeur d'un capital placé à intérêts composés; diverses applications numériques. — 182. Formules des annuités ; diverses applications numériques.
EXERCICES
L Quelle est, la raison d'une progression géométrique de li termes, dont le premier terme est 10 et dont le dernier est lOOÎ
Quelle est la somme de cette progression?
n. Un capital de 8600 fr. est placé à 4| pour 100 : que devient-il au bout de 41 ans?
m. Une population de 200 000 ftmes augmente par an de 1 { pour 100 ! à combien montera-t-elle dans un siècle?
THÉORIK ÉLÉMENTAIRE DES LOGiRlTHMES. 203
IV. Combien de temps un capital de 3500 fr. doit-il être placé à ô pour 100 pour s'élever à la même somme que 4300 fr. placés à 4 pour 100 pendant 18 ans?
Y. Deux capitaux sont placés aux intérêts d'intérêts : Tun, de 38 000 fr., à 4 J pour 100; Tautre, de 99 398 fr.» à3 ^pour 100 : en combien de temps s'élèveront-ils à la même somme ?
VI. Quelle est la valeur actuelle d'une rente annuelle de 1500 fr. payable pendant 36 ans, l'intérêt étant à 5 pour 100, et le premier payement devant s'effectuer dans un an?
VII. On veut payer une dette de 25000 fr. en 7 payements annuels égaux, l'intérêt étant à 4 pour 100.
Quelle doit être la valeur de l'annuité?
VIII. Quelle est l'annuité qui amortit en 48 ans un emprunt de 36 000 fr. au taux de 3 1 pour 100?
IX. On veut acheter une rente de 3000 fr. pour 91 650 fr. : pour combien d'années, à raison de 3 pour 100, doit-on concéder la rente î
X. Quelle est la valeur actuelle, au taux de 5 pour 100, de 24 annuités dont la première, payable dans un an, est de 1000 fr., et qui croissent en progression géométrique dont la
* llo
raison est =— ?
Calculer le montant de la dernière annuité.
