Y ce qui peut s'écrire

or, dans le développement de (a+ô)*^, le coefficient de arb"^-* est égal à

Le terme demandé est donc

or, en supprimant le facteur commun 1,2. ..(m— y)» ^t remplaçant fn — Y""« par h

et le développement se compose de tous les termes analogues,

236 ananHÀisoNs et formule du binomb.

qui correspondent à toutes les valeurs de «, p, y, dont la somme soit égale à m.

218. Remarque. On trouvera sans peine par un procédé tout à fait analogue, que le développement de (a+6-|-e-f-^)'" a pour terme général

et se compose de tous les termes analogues qui correspondent à toutes les valeurs de a, p, y* ^9 dont la somme soit égale à m. On doit observer que si Ton veut faire représenter à ce terme général tous les termes du développement , sans exception , il faut convenir que, pour a==0, on prendra 1.2.3...a=l. La même remarque s'applique à la formule précédente.

Définilion du nombre e.

219. L'expression M-) — j , lorsque m augmente indéfiniment, tend vers une limite dont la considération est fort ulile en analyse et que Ton désigne habituellement par la lettre e. Nous allons donner le moyen d'exprimer cette limite par une série convergente.

Supposons d*abord que m soit entier. On a alors

\ ^ mj ' wi ' 1.2 m* '

ce que Ton peut écrire de la manière suivante:

^+m)=^+^+-ir2-+ 1.2.3 + — 1:2:31 — +

+ fn m tn m ,

mais on a évidemment

fn m m m

GOMBlNAlSOiNS ET FORMULE DU BINOME. 237

eu sorte que

(,j 1\ t|i4 m V mj\ m)

I di/* • • •

sfm croit iudéûuimeut, —,—,—, i.. tendent vers zéro, et Ton

^ m* m/ nC

a, à la limite,