CHAPITRE XVII

L'expression a« peut prendre toutes les valeurs possibles lorsque a est un nombre positif plus grand ou plus petit que l'unité.

9529. Nous avons donné (194) la définition de l'expression a', et nous ayons vu (193) que si, le nombre a étant donné, Texposant X reçoit des accroissements suffisamment petits , l'expression a* peut varier aussi peu qu'on le voudra. On dit , d'après cela que cette expression est une fonction continue de a?, et Ton entend par là qu'elle ne peut passer brusquement d'ime valem: à une autre sans être susceptible d'acquérir les valeurs intermédiaires.

230. 11 résulte de la continuité de l'expression af que a étant positif, et X variant de — oo à +oo, cette expression peut prendre toutes les valeurs positives. Pour le démontrer nous distinguerons deux cas.

l"" a est plus grand que l'unité. Les puissances entières de a forment une progression croissante; et, par suite (144), il existe toujours un exposant assez grand pour que a' dépasse toute grandeur assignée d'avance; d'ailleurs , pour ir=0, a* devient l'unité , et par suite la fonction considérée , pouvant être égale à l'unité et à un nombre aussi grand que l'on voudra, peut acquérir, en vertu de la continuité, toutes les valeurs intermédiaires ; on voit donc que x variant de 0 à + oo , a* varie de 1 à + «> et prend toutes les valeurs plus grandes que l'unité.

Si l'on donne à x des valeurs négatives en posant, par exemple , ^ = — wi , on aura

or* et m variant de 0 à + oo » le dénominateur du second membre •.

prend toutes les valeurs possibles plus grandes que Tunité , et , par suite, la fraction prendra toutes les valeurs moindres que 1. Il est clair d'ailleurs que a* ne peut pas prendre deux fois la même valeur, car si Ton avait , par exemple ,

on en conclurait

or, la puissance 0 d'un nombre plus grand que 1 est évidemment la seule qui soit égale à l'unité , et l'on devrait avoir

2* a est plus petit que l'unité: Posons a=^^(/ sera plus grand que l'unité ; on aura

et , d'après ce qui précède , x variant de 0 à + « , o'* prendra toutes les valeurs possibles supérieures à l'unité , donc a' prendra évidemment toutes celles qui sont moindres; x variant de 0 à — 00, a'* prendra toutes les valeurs moindres que l'unité, et par suite a' prendra évidemment toutes celles qui sont plus grandes que Tunité. En sorte que, dans ce cas encore , a* peut prendre toutes les valeurs positives.

231. La définition que nous avons adoptée (147) permet de démontrer les propriétés essentielles des logarithmes; mais pour leur étude plus approfondie, il est convenable de prendre Un autre point de départ et nous adopterons une définition nouvelle.

Définitioa des logarithmes.