Lorsqu'on a la relation
COMPLÉMENT DE LÀ THÊOKIE DES LOGARITEMIS. 351
on dit que x est le logarithme du nombre h dans la base a > et on l'écrit ainsi :
X = log 6.
L'ensemble des logarithmes des différents nombres correspondants à une même base a , forme ce que Ton nomme un système de logarithmes. Les logarithmes d*un même système jouissent de propriétés fort importantes que nous allons d'abord démontrer. Nous supposons toujours la base positive.
Propriétés des logarithmes.
335. Le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres.
Soient, en effet, x eiy les logarithmes des nombres b et
(T, ona (232)
a^ = c\ et, en multipliant ces deux équations membre à membre ,
donc a? -j- y est le logarithme de 6c, et Ton a
log bc = log 6 + "og c.
234. Le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence des logarithmes de ces nombres.
Soient , en effet , a? et y les logarithmes de deux nombres 6 et c , on a (232)
ay = c, et, en divisant ces deux équations membre à membre,
donc «?— y est le logarithme de -, et l'on a
log - =log 6— log c.
252 COMPLÉMBNT DE LÀ THÉORIE DBS LOGAUITHMES.
258. Le logarithme de Impuissance n"** d'un nombre est égal, quel que soit n (mUer ou fractionnaire , positif ou négatif)^ au produit de n par le logarithme de ce nombre.
Soit X le logarithme de 6, on a
^où » en élevant les deux membres à la puissance n ,
donc nx est le logarithme de ô**, et l'on a
log 6**=n log b.
956. Dans un système quelconque de logarithmes, l'unité a pwr logarithme zéro , et la base du système pour logarithme Funité.
On a, en effet, quel que soit a»
257. Lorsque la base d'un système est plus grande que l'unité, les nombres plus grands que V unité ont des logarithmes positifs^ et les nombres moindres que l'unité ont des logarithmes négatifs. Le contraire a lieu lorsque la base est moindre que Vunité.
On a vu, en effet (195), que les puissances positives d'un nombre plus grand que l'unité sont plus grandes que l'unité, et ses puissances négatives sont moindres que l'unité. Le contraire a lieu pour les puissances des nombres moindres que Tunité. Si donc a est plus grand que l'unité , l'équation
exige que x, c'^st-à-dire log 6, soit positif si b est plus grand que Funilé et négatif dans le cas contraire. Si, au contraire, a est moindre que l'unité, Téquaiion
exige que x, c'est-à-dire log 6, soit négatif si b est plus grand que l'unité, et positif dans le cas contraire.
Remarque. Les nombres négatifis n'ont pas de logarithmes; car les puissances, positives ou négatives, d'une base positive sont toutes positives.
Idenlité des logarilhmes algébriques et arithmétiques.
258. II est essentiel de démontrer que les logarithmes , tels que nous les avons définis, ne diffèrent pas de ceux que l'on considère en arithmétique, et qui naissent de la considération de deux progressions.
Si l'on considère, en effet, des nombres en progression par quotient commençant par l'unité :
^ \ : q \ q^ \ t : ^ : cf : ... q"" : q'^\
et que Ton nomme x le logarithme de q , les logarithmes des différents termes de cette progression seront (255)
0, a?, 2^, 3â?, ..., nXy (n+ 1)^,
et formeront , par conséquent , une progression arithmétique commençant par 0.
259. Si maintenant on insère un nombre k de moyens entre les termes consécutifs des deux progressions , on dit, en arithmétique, que les termes introduits par là dans la progression par différence, sont les logarithmes des termes correspondants dans la progression par quolient. Or nous allons voir que les conséquences de cette définition sont d'accord avec celle que nous avons donnée en algèbre.
Si, en effet, nous insérons k moyens entre les termes g% g^*** de la propression par quotient et les termes nx^ (ji-\-\)x de la progression par différence, les raisons des progressions formées par ces moyens seront
yjq
et le !)"• moyen sera , dans la progression par quotient ,
S54 GOMPLCIIBNT DE LÀ THBORIB DES LOGARITHMIS.
et dans la progression par différence ^
nx
+Krfi) '
mais on a g^X Csjqf = q*^' »
nx
+K*fî)=K"+*tî)'
et, puisque x est, par hypothèse, le logarithme de g, le second de ses nombres est bien (25S) le logarithme du premier.
240. Nous venons de voir qu'un système de logarithmes, tel que nous l'avons défini, peut toujours résulter de la considération de deux progressions convenablement choisies , et rentre dans les systèmes considérés en arithmétique. On peut faire voir aussi que le système de logarithmes défini par deux progressions quelconques , satisfait toujours à la définition donnée (252).
Soit, en effet, le système défini par les deux progressions
Posons ?* = ?: w§ = Y,
Y étant le logarithme de p ; on tire de la seconde de ces équations
et, en remettant cette valeur dans la première,'
ou * (?V = p.
Y est donc la puissance à laquelle il faut élever la base fixe q^
pour reproduire le nombre p, c'est-à-dire le logarithme p pris, d'a-
près notre nouvelle définition, dans le système dont la base estg^.
COMPLÉMENT DK LA TUÉOHlfi DES L0GAR1TBMI8. 255
Comment on passe d'un système à un autre.
94 1. Le nombre a, dont les puissances servent à former tous les autres nombres, se nomme la base du système de logarithmes que Ton considère. Si Ton change de base, tous les logarithmes changent, mais il est facile de voir qu'ils conservent des valeurs proportionnelles, et se multiplient tous par un même facteur, que Ton nomme module de l'un des systèmes par rapport à l'autre.
Soient a et a' deux bases quelconques , elx, x' les logarithmes d'un même nombre b dans les deux systèmes, de sorte que l'on ait
Prenons les logarithmes, dans la base a, des deux membres de la première équation, on aura
[3] xUa = la'b ,
le signe /«' désignant le logarithme d'un nombre dans la base a'. Or, si on se rappelle que x est le logarithme de b dans la base a , l'équation [3] prouve que les deux logarithmes du nombre 6, dans les bases af et a, ont pour rapport le nombre constant /«a.
On aurait pu, également, prendre les logarithmes des deux membres de l'équation [2], en opérant cette fois dans la base a; on aurait eu alors
x'Ua' = lab.
Donc le rapport des deux logarithmes du nombre b , pris, respectivement , dans les bases a' et a , est j— >. Nous avions
trouvé, plus haut, que ce même rapport est l^^a. Pour que ces <leux résultats coïncident, il faut que Ton ait
256 COMPLÉMENT Dt LA THÉORIE DES LOGAEITHMES.
Or, cette égalité est évidente, si Ton pose en effet
If^a = z.
On a, par définition, a^ = a'.
Remettant dans la seconde équation la valeur de a' fournie par la première, il vient
Donc4>n doit avoir ^^=1.
Logarithmes vulgaires.
242. Les logarithmes dont on fait habituellement usage, ceux qui sont formés par les tables de Callet, ont été calculés en prenant 10 pour base du système. Nous avons expliqué complètement (167) la disposition et l'usage de ces tables; nous n'y reviendrons pas ici. Nous nous bornerons à dire quelques mots des logarithmes négatifs, dont il n'a pas été question au cha« pitre xni.
Logarithmes négatifs.
245. La base a du système considéré étant plus grande que Tunité, si le nombre considéré est moindre que 1, l'équation
donnera pour x une valeur négative ; car on a vu (250) que c'est en faisant varier a; de 0 à — oo que l'on fait prendre à a* les valeurs comprises entre 1 et 0. Par conséquent, les nombres moindres que l'unité ont des logarithmes négatifs. Ces logarithmes jouissent de toutes les propriétés démontrées plus haut, car il n'a été fait jusqu'ici aucune hypothèse sur le signe des nombres considérés. On remarquera seulement que les logarithmes négatifs ne sont pas directement fournis par les tables: mais leur détermination n'offrira pas pour cela
COMPLiMENT DE LA THÉORIE DES LOGARITHMES. 257
plus de difficulté. Supposons, en effet, que le nombre 6, plus petit que l'unité , soit donné sous forme d'une fraction - , on
aura
tu
l- zrzlm — /n = — (/w — Im), n
et, par suite,»le logarithme négatif s'obtiendra au moyen d'une soustraction. On a vu que, pour les calculs, il est commode de préparer le logarithme de telle sorte que sa caractéristique soit seule négative : on ajoutera, pour cela, à la partie entière de Im , un nombre tel que l'on puisse soustraire In ; la différence sera la partie décimsde du logarithme cherché, et Ton donnera, pour caractéristique négative, le nombre entier qui a été ajouté à log m.
Résolution des équations expouentielies.
244. On appelle équation exponentielle une équation de la forme
dans laquelle a et 6 sont deux nombres positifs donnés. Résoudre Téquation, c'est trouver la valeur de x pour laquelle elle est satisfaite. Pour trouver cette valeur de x^ il suffit de prendre les logarithmes des deux membres de réqualion. On aura ainsi
X log a = log6,
et par suite x = ^^.
log a
La base du système dans lequel les logarithmes sont calculés est arbitraire. Cela n'a d'ailleurs aucune influence sur le résultat : car on a vu (2il) qu'en passant d'un système à un autre, on doit multiplier tous les logarithmes par un môme nombre, et, par suite, le rapport
log(^ log a
n'est pas change.
258 GCMDLiMBNT DE LA THÉ6R18 DBS LOGÀRminrS.
Remarques fUr les questions d'intérèl.
248. On a démontré qu'une somme A , placée à intérêts composés» devient, après n années,
A(l H-rr.
Les conyentions faites (S9i») sur les exposants négatifs et fractionnaires permettent, maintenant, de généraliser cette formule.
Si n est fractionnaire et représenté par ^ , supposons que
l'on étende le principe des intérêts composés aux fractions d*année, et nommons x ce que rapporte 1 franc pendant
- d'année.
1 franc rapportant x après - d'année, devient, au bout de ce
temps, (14*^)' ^^ une somme quelconque placée pendant le même temps, se multipliera par l-\'X, Si donc on place 1 franc
pendant- d'année, c'est-à-dire pendant une année entière, il
66 multipliera 9 fois par (1+a?) ou par(l4-^)'; et conune d'ailleurs il doit devenir 1 -f r, on a
d'où l'on déduit 1 + ^=(1 +r) « .
£t il est évident que 1 franc placé pendant - année se mul-
tipliera par (1 +«?)'*, c'est-à-dire par (1 -j- r)«, et que, par suite, une somme quelconque A deviendra
ce qui est conforme au résultat énoncé.
2'' Si r est négatif , nous envisagerons la question de la manière suivante :
Une somme qui vaut aujourd'hui A , est placée depuis un temps indéterminé : combien valait-elle il y a n années?
GOMPliHBNT DS Lk THÈORIB DES L0GAR1THIIB8. 259
Si Ton désigne par X la valeur inconnue, X placé pendant n années est devenu À ; par suite, d'après ce qui précède,
A = X(l-|-rr,
d'où l'on déduit. X = A(l + r)-*;
ce qui est encore conforme à la formule donnée plus haut.
RËSUMÉ.
229. La fonction a'' est continue. — 230. Lorsque x varie de — oo à -f- oD ) a étant positif, a' prend toutes les valeurs positives, et ne prend chacune qo*une seule fois. — 231 , 232. Nouvelle définition des logarithmes. — 233. Logarithme d'un produit. — 234. Logarithne d'un quotient. ^ 23^. Logarithme d'une puissance. — 236. Logarithme de 4 , et logarithme de la base. — 237. Nombres qui ont des logarithmes positifs, et nombres qui ont des logarithmes négatifs. — 238. Si des nombres sont en progression par quotient, leurs logarithmes sont en progression par différence. — 239. Cas où l'on insère de nouveaux termes dans les progressions. — 240. Les logarithmes définis au chapitre xiv sont les mêmes que ceux qui résultent de la définition nouvelle.— 241. Comment on peut passer d'un système à un autre. — 242. Les tables de logarithmes vulgaires ont été décrites au chapitre xrv, on n'y reviendra pas dans celui-ci. — 243. Logarithmes négatifs. — 244. Résolution d'une équation exponentielle. — 245. Généralisation des formules relatives aux questions d'intérêt.
