CHAPITRE XVllI

THEORIE DES DÉRIVËES.

Développement d'une foncUon eitière de {x + h) suivant les puissances de h,

246. Si, dans un poljnome entier, par rapport à une lettre or, et que nous représenterons généralement par

A^-l- Aia?"-'-j- A^P'«-*+ ... + A«-.ia:+ A«,, on remplace x par X'\-hf le résultat de cette substitution sera

Celte expression devient, en développant chaque terme par la formule du binôme et ordonnant suivant les puissances h.

+A,x- + (m — IjAaJ— ^

+(m-l)(m— 2)Aia;-^

Les termes indépendants de A, ceux auxquels se réduit

l'expression pour î = 0, forment, comme cela devait être,

le polynôme proposé lui-même. Le coefficient de la première

puissance de h se nomme la dérivée du polynôme proposé.

En désignant celui-ci par f{x), la dérivée se représente assez

h} A* habituellement par f{x). Les coefficients de -— ^ , j ... ,

A"* -r-^ , qui sont des polynômes dont le degré est de moins

en moins élevé, étant désignés par ^a?), H^), ..., f*^{x), le dé-

THÉORIE DES DÉRIVÉES. 3Gt

veloppement précédent s'écrira

+ t4 — rw.

' 1 ri». .m' Le polynôme

na?)=»iAoa?«-* +(!»— DAior"»-' +(m— 2)A,ar«^+ ...+ A^-i

se déduit du polynôme f{x) d'après une loi fort simple que Ton reconnaît immédiatement. Il faut , pour le former, diminuer d'une unité l'exposant de chacun des termes de {[x) et multiplier le coefficient par l'exposant non encore diminué. L'inspeclion des polynômes fix)^ A^)» •••» montre que chacun d'eux se déduit du précédent suivant la même loi , en sorte que fXx) est la dérivée de f{x) , f^{x) celle de f\x) et ainsi de suite. On dit aussi, pour celle raison, que f{x) est la seconde dérivée de f{x\ que /^(a?) en est la troisième dérivée et ainsi de suite.

Chaque dérivée est de degré moindre que la précédente , en sorte que la nv^ dérivée d'un polynôme de degré m est constante et qu'il n'y en a pas de (m-}- 1)"*.

Nouvelle définition de la démée.

247. La définition que nous avons donnée de la dérivée ne s'applique qu'aux polynômes entiers et rationnels , mais nous allons en déduire une propriété importante que nous prendrons ensuite pour définilion , ce qui permettra d'étendre la notion de dérivée aux expressions d'une autre forme.

On a (246), ei\ désignant par ï{x) un polynôme entier par rapport à x ,

F(a;+A)=F(aj)+AF'(a;)4- j^F'Cr) + ... -}..^-|-F«(x) ,

on en conclut • 6i, X restant fixe, on fait tondre h vers zéro, le second membre

S6S THiORlI DIS DtelTÉIS.

a évidemment pour limite F'(^) , U doit , par suite , en être de même du premier, et Ton a, par conséquent,

F'[x) = lun -^^ — ^—r — ,

résultai que Ton peut énoncer ainsi :

La dérivée d'un polynôme F(x) est la limite du rapport de Fac^ croissement F(x-|-h) — F(x) de ce polynôme à F accroissement h de la variable f lorsque cet accroissement diminue déplus en plus,

La propriété précédente sera dorénavant prise par nous comme définition ; on voit qu'elle permet d'étendre la notion de dérivées à une expression renfermant. une variable x d'une manière quelconque , c'est-à-dire à une fonction quelconque de X. Car on désigne sous la dénomination générale de fonction toute quantité qui acquiert une valeur déterminée pour chaque Valeur attribuée à la variable.

248. La dérivée seconde d'une fonction est la dérivée de la dérivée, la dérivée troisième est la dérivée de la seconde dérivée, et ainsi de suite.

Nous commencerons plr faire connaître la dérivée des deux fonctions algébriques les plus simples, a* et log x.

Dérivée de a^.

249. La dérivée de a* est, par définition , la limite du rapport

or, on a , évidemment ,

a*+'^ — a« = a'(a*— 1); CI^:. 7^:

il faut donc, pour obtenir la dérivée, chercher la limite de

a'(a*— 1) h • Posons

THÉORIB DES DÉRIVÉES. 263

h étant très-petit , a* diffère peu de l'unité et , par suite , « est une quantité qui tend vers 0. On déduit de [3]

Aloga = log(l+«),

loga L'expression [2] devient d'après cela

!5^1i±±) iog(i + «) Il (1+./

le numérateur ne contenant pas «, il suffit de chercher la limite du dénominateur. Or, on a

et en posant « = - >

iog(i+«r=iog(i+iy-

c tendant vers 0, n augmente indéfiniment, (l + ') teiid

donc (22i) vers e, et, par suite, log \\-\ — j a pour limite log e,

et Texpression , ,^^ tend vers , ^^ : telle est donc la

log (l +-)

dérivée de a'.

On peut remarquer que la base du système dans lequel sont pris les logarithmes n*a pas été définie ; mais le choix de celte

base n'a aucune influence sur le résultat, car le rapport j-^-

ne dépend pas (241) de la base du système considéré.