THÉORIE DES DÉRIVÉES

Dérivée de logx*

S50. La dérivée de logj? est , par définition , la limite de l'expression

log(a?+^) — \ogx h '

lorsque h fend vers zéro.

Or, on a

log (a: + A) — log « = log (^-i^) = log (l + 1) .

L'expression [1] équivaut donc à

Posons -=«, a tendra vers 0 avec h: il viendra h= aa?, et Tex-

pression [2] devient

Or, on a vu (249) que , a tendant vers 0 , log (l + aj" a pour

limite log e. La limite de - log (1 + a)* est donc -^- , qui représente par conséquent la dérivée de log x.

Après avoir fait connaître les dérivées des deux fonctions très-simples , log a? et a*, nous allons établir quelques règles générales qui nous permettront d'obtenir les dérivées d'expressions plus composées.

Dérivée d'une somme.

SISI. Si w, V, w, sont des fonction de w, dont les dérivées u\ v', w' sont connues, la somme

aura pour df^rivée la somme

TQiORIB DES DÉRIVÉES. 265

Posons , en effet , F = w + r + *<*•

Si nous désignons en général , Taccroissement d'une quantité par le signe A placé devant la lettre qui la représente, en attribuant à la variable x un accroissement Ao:, les fonctions u^ V, w prendront, respectivement, des accroissements Att, Av, Aw, et Taccroissement de la somme ti + v + w'» sera évidemment

le rapport de cet accroissement à Taccroissement Arr de la variable , est donc

Aa? "•" Aa? ' Aa? * et , il a , par conséquent pour limite

comme nous voulions le démontrer.

Dérivée d'une fonction de fonction.

282. On nomme, en général, fonction explicite d'une variable le résultat d'opérations bien définies , exécutées sur cette variable ; ainsi , par exemple ,

a:*", log v^l -|-a?*, log sin a:, a

sont des fonctions de a;; le nombre des opérations successivement indiquées pouvant d'ailleurs ôtrc aussi grand qu'on le voudra:

Si l'on désigne par u une fonction quelconque de la variable a?, et que Ton exécute des opérations sur la quantité w, considérée comme donnée, le résultat de ces opérations sera, d'après ce qui précède une fonction Ae u, et comme u est elle-même une fonction de a;, ce résultat se trouve une fonction de fonction. Il est bien entendu qu'en remplaçant u par son expression en a?, on peut faire imaiédialement d'une fonction de fonction une fonction ordinaire.

Exemples. {j^f = x^

966 THÉORIB 0B8 DBRIYÉIS.

peut être considéré comme une fonction de fonction (le cube de a:^) ou comme une fonction «impie.

]og ar = x\og a

peut être considéré comme une fonction de fonction (le logarithme de la fonction a') ou comme la fonction simple du premier degré, x log a.

Lors même que des réductions analogues aux précédentes ne s'effectuent pas, rien ne distingue essentiellement une fonction de fonction de celles qui dépendent directement de la variable principale.

D'après les définitions qui précèdent , si l'on désigne par u une fonction (p(x) de la variable x , et par w une fonction ^u) de la variable u , w sera une fonction de fonction définie par les équations

Nous allons montrer que si les fonctions cp et «^ sont de telle nature qu'on sache prendre leurs dérivées par rapport à la variable dont elles dépendent immédiatement, on pourra former la dérivée de w par rapport à x.

Supposons, en effet, que l'on donne à x un accroissement àx, et qu'il en résulte

pour u un accroissement Aw , pour w un accroissement Aw ,

on a , identiquement , ^= ^ . ^.

Or, Aa? fendant vers zéro , le premier membre de cette égalité a, par définition , pour limite la dérivée de w par rapport à a?, et les deux facteurs du second membre tendent , respectivement , vers la dérivée de iv par rapport à u, et vers la dérivée de wpar rapport hx\ en désignant donc ces deux dérivées par ^'(u) et cp'Ca?) , on voit que la dérivée de w par rapport à x est égale au produit

Yiîf) ^\x)

THÉORIE DBS DÉRITfoS. 267

résultat que l'on peut énoncer de la«nanière suivante :

La dérivée d'une fonction de fonction est le produit des dérivées des fonctions simples qui la composent^ prises^ chacune ^ par rap^ port à la variable dont la fonction dépend immédiatement.

2S3. Exemples. Considérons la fonction

c'est-à-dire , supposons que dans la formule qui précède , on ait

Pour former la dérivée de cette fonction de fonction , il faut , comme on Ta vu, prendre la dérivée de tfi par rapport à u, qui est 3w*, et la multiplier par la dérivée de a^ par rapport à a?, c'est-à-dire par 2x , et cette dérivée est donc

3w* X 2a? = 6oc^,

ce qui est précisément le résultat que Ton aurait obtenu ^246) en remplaçant la fonction de fonction par sa valeur a?*. Considérons encore la fonction

lOg iP*,

c'est-à-dire, supposons u = xl^

w=^log u.

La dérivée de cette fonction de fonction est le produit de 5a?*, dérivée de a?*, par — 2— ^ dérivée de log u , par rapport à u ; elle est égaie , par conséquent , à

bcd' log e 5 log g.

c'est précisément ce que Ton aurait trouvé en remarquant

que

loga?'=6 log a;,

car la dérivée de 5 log x est évidemment égale à cinq fois la dérivée de log a?.

268 THÉORIE DES DÎIIYÉSS.

Les' deux exemples précédents ont été choisis de manière à fournir un résultat qui fut connu à l'avance, mais on conçoit que dans un grand nombre de cas la règle des fonctions de fonctions conduira à des résultats entièrement nouveaux et qu'il serait difficile d'obtenir autrement.

Cherchons y par exemple, la dérivée de e^, en posant

a;*= ti

On voit que la dérivée demandée est le produit de 2x , dérivée de u par rapport à jr, et de c*, dérivée de e* par rnpport à u ; elle est, par conséquent , égale à

254. On peut généraliser la règle des fonctions de fonctions et rétendre à des expressions qui dépendent de la variable x au moyen de plusieurs fonctions intermédiaires.

Posons , en effet , u = ^[x)

et cherchons la dérivée de z par rapport à x ; soit, àx un accroissement attribué à a:, Aw, Av, âkw. As, les accroissemenls qui en résultent pour w, v , w, s ; on a , identiquement ,

âkZ As \w Av âkU

Aw Aw ' Ai; ' Aw * Aa: '

et Ton voit que si Aa? tend vers zéro, le premier membre a pour limite la dérivée de z par rapport à a? , cl les facteurs du second tendent vers les dérivées des fonctions s , w, v ^u, par rapport aux variables dont elles dépendent immédiatement. On en conclut que la dérivée de w est encore le produit obtenu en multipliant les dérivées des diverses fonctions z, w, v, u, prises chacune par rapport à la variable dont la fonction dépend immédiatement.

TUÉOHIE DKS -DÉUIYÉKS. 269

Dérivée (]*un produit.

2âo. Soient u ^v,Wj des fondions données en nombre quelconque , et z leur produit , dont on demande la dérivée.

On a z=-u.v .w^

en prenant les logarithmes des deux membres , il vient

log 5 = log w + log t; + log w,

et si Ton prend les dérivées des deux membres, on a, en appliquant la règle des fonctions de fonctions, et désignant par z\ u\ v'j Wf les dérivées de z, u^v,w,

loge , loge ,, loge ,, loge ,.

d'où Ton déduit

s'= - w' + - v' 4- - tt;' = vum' + uwv' + uvw'.

Ainsi, la dérivée d'un produit est la somme des produits obtenus en multipliant successivement la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.

Dérivée d'un quoUent.

286. Soient w et v deux fonctions de a?, et - leur quotient, dont on demande la dérivée, on a

Eu prenant les logarithmes, il vient

log3 = log 1^— log v;

et si l'on prend les dérivées des deux membres, cette équation donne, en adoptant les mômes notations que précédemment,

loge , loge , loge ,.

270 THftORlK DBS DÉRIVBIS.

d'où Ton déduit

. z j z , \ , ti , vu' — uv'

Telle est la formule au. moyen de laquelle on peut trouver la dérivée d'un quotient, lorsque l'on connaît celles du numérateur et du dénominateur.

Dérivée d'une puissance.

257. Soient u une fonction de â?, et m un exposant, entier ou fractionnaire, positif ou négatif; désignons par z la puissance w*", et cherchons-en la dérivée ; ou a

En prenant les logarithmes, il vient

log z^=m log u\

et si l'on prend les dérivées des deux membres, on aura, en adoptant toujours les mêmes notations,

log e , log e , z u

d'où Ton déduit s' = m - ti' = mu*^^, u\

Remarque I. Dans le cas où m est entier, cette règle pourrait se déduire du théorème des fonctions de fonctions : car u étant une fonction de x, u"^ est une fonction de fonction; et Ton a vu (246) que sa dérivée par rapport à u est mu'^K

Remarque IL Si , dans la formule précédente , on suppose u = x, on obtient la dérivée de a?*, et l'on voit qu'elle est maf"-^ : celte dérivée s'exprime par conséquent par la même formule que lorsque m est entier.

Dérivée de u".

2S8. Considérons enfin l'expression plus composée, dans laquelle l'exposant est lui-même fonction de la variable x, et

THÉORIE DBS DÉRIVÉBS. 271

cherchons la dérivée de w^ u ti v désignant deux fonctions quelconques de x.

Posons • s ==!#•,

on obtient, en prenant les logarithmes,

log«=:vIogii;

et si nous prenons les dérivées des deux membres , en appliquant la règle donnée pour la dérivée d'un produit, il vient

log e , ,1 , t? log e ,

d'où Ton déduit z'= z(^^^^ + \'\.

Exemple. Si Ton pose r=a?, t* = a?, la fonction z devient a:*, et la dérivée est

Applications des règles précédentes.