DÉRIVÉES DES FONCTIONS GIRGUUIRES

Dérivée de sin x.

260. La dérivée de la fonction sin x est, par définition , la limite du rapport

sin {x-\' h) — sin x

Or, on a, d'après les formules connues de la trigonométrie,

sin (x + h) — sina?=2sin-cos(ir+ ô)* Donc

h = — nr — ---TK^-'^^

Mais on sait que h devenant très-petit, le rapport du sinus à Tare correspondant tend vers l'unité. D'ailleurs, cos(a?4-ô)

s'approche indéfiniment de cos a?, et, par suite, Texpression précédente a pour limite cos x.

La dérivée de sin x est donc cos x.

Dérivée de cos x.

26i. On a cos a: = sin (| — xj;

et, par conséquent, cos x peut être considéré comme une fonction de fonction. En appliquant la règle (252) , on trouve

(cosir)' = cos^^ — a?V| — a?j = — cos(^—xj = — smx.

La dérivée de cos x est donc — sin x.

tTA

SCf^CNiai \aiz

(bnçx/^

Lu dérivée de tans x est dî»e

S65. Ona secx =

Donc -jiecx/ =^cos-*x/ =— (cos x)-*. (— sinx) = La dérhrée de sec x est donc

S04. RnfABQCE. Noos admettons dans les paragraphes précédents que l'arc x soit mesuré par son rapport an rayon do eerde dcot il lait partie. Cest en effet dans cette hypothèse seulement qu'il est vrai de dire , comme nous Favcms ùdt (900), que le rapport du sinus à Tare taid Ters runité hwsque Farc diminue.

Dérivées des fonctioiii dreolaires iuyenes.

865. Toutes les fois que deux Yariables sont liées de telle manière que la Taleur connue de Tune détermine la valeur de l'autre , eUes sont dites fonctions Tune de l'autre. Ainsi, par exemple, le sinus d'un arc est une fonction de cet arc, mais, réciproquement , Tare est fonction du sinus , car à chaque valeur du sinus correspond une valeur déterminée de Tare. Nous désignerons cette fonction par la notation

are sin x,

que Ton doit lire : arc dont le sinus est x.

THXORIB DIS DiaiviEis. 275

Posons y==arc sin â?

et cherchons la dérivée de y par rapport à x.

De l'équation y = arc siû x

on déduit x = sin y,

en prenant la dérivée des deux membres, et appliquant, pour le second, la règle des fonctions de fonctions, on trouve

1 = cos y X y\

donc y'==- ,

^ cos y'

mais sin y étant égal à a: , cos y est égal à ± \/l — ^, et Ton a, par conséquent,

Il peut sembler extraordinaire que la dérivée cherchée ait un signe indéterminé. Mais on remarquera qu'à un même sinus correspondent plusieurs arcs , dont les uns ont un cosinus positif et les autres un cosinus négatif; ce sont ces divers arcs qui ont des dérivées différentes, chacun d'eux, bien entendu, ne peut en avoir qu'une seule.

Dérivée de arc cos op.