Posons y == arc tang x
on en déduit x = tang y ,
et en prenant les dérivées des deux membres
COS* y ' donc y'= cos' y = ^-p^^ = ^.
La dérivée de arc tang x est donc , ,.
On voit que la fonction arc tang a? n'a qu'une seule dérivée. Il existe cependant un nombre infini d'arcs qui correspondent à une laijgcnte donnée ; mais si Ton désigne l'un d'eux par y , tous les autres sont compris dans la formule
WTT + y;
ils ont, par conséquent, même dérivée que y.
Tableau des dérivées.
Si68. Comme il est nécessaire de connaître les formules
THÉORIE DBS DÉRIVÉES.
fondamen laies du calcul des dérivées , je les ai toutes réunies dans le tableau suivant :
ax + h,
9"y = Ioga?,
O» y = 8ln 0?, !• y = co8a;,
2«y = langir, 3oy = cotang«, 4* y=isécâp, S'^y^coséco;,
6«y =arcsinâ;,
7''y = arcco8«;
8<> y = arc langer, 9» y = arc col a; ,
20"y = arcsécap, 21° y = arcco6éc«/
22'y = log8ln«, 23'*y = logcosâ;,
24°y = IogtaDga;,
f'x^.x + fx.^'x.
fx.<^x-^fx,f(t'x
fi*.
- lOg tf .
C08 âP.
— sin X,
C08' Of'
8in' a;' 8ina;
cos' X
cosag 8in' as'
Vl — «»'
«Va;'— 1
cotang X.
— tango;.
siux.cosa;*
Conditions pour qu'une fonction soit croissante ou décroissante.
2«9. Soit /(a?) une fonction quelconque de la variable x. On
278 THÉORIE DBS DÉBIYÉES.
dit que cette fonction est croissante lorsqu'un petit accroissement , attribué à la variable x , fait prendre à la fonction une * valeur plus grande ; lorsque Ton a, en d'autres termes, pour de très-petites valeurs de A,
il est évident , d'après cela , que si la fonction f{x) est croissante , la fraction
est toujours positive pour de petites valeurs de A; et, par conséquent, sa limite qui est la dérivée de f(x) est positive. Ainsi donc : lorsqu'une fonction est croissante sa dérivée est positive. Réciproquement : une fonction f{x) est dite décroissante lorsqu'un petit accroissement , attribué à la variable x , fait prendre à la fonction une valeur plus petite; lorsque Ton a, en d'autres termes, pour de très-petites valeurs de h
Koo+hXflx);
il est clair, d'après cela, que si la fonction f{x) est décroissante, la fraction
est toujours négative pour de petites valeurs de h; et, par conséquent , sa limite qui est la dérivée de f{x) est négative. Ainsi donc : lorsqu'une fonction est décroissante sa dérivée est négative.
Les deux théorèmes précédents sont d'im grand usage dans l'élude des diverses fondions.
Lorsque la variable de laquelle dépend une fonction change d'une manière continue , la fonction elle-même varie d'une manière continue , et les théorèmes qui précèdent nous permettent de trouver les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction est croissante ou décroissante.
Si la fonction considérée devient maxima pour une certaine valeur a de x ^ elle est croissante lorsque x est moindre que a , et décroissante dès que x dépasse cette limite. La
THiORll DBS DÉBIViSS. 279
dérivée doit donc changer de signe, en passant du positif au né^ gatif^ lorsque x croissant d*une manière continue Tient à atteindre la valeur a.
On verra de même que si , pour x = a , la fonction considérée est minima , la dérivée doit changer de signe en passant du négatif au positif lorsque x , croissant d'une manière continue, atteindra la valeur a.
On voit, par ce qui précède, que les valeurs de x qui rendent une fonction maxima ou minima sont celles pour lesquelles la dérivée de cette fonction vient à changer de signe ; et comme une fonction continue ne peut changer de signe qu*en passant par la valeur zéro , intermédiaire entre les valeurs positives et négatives, il en résulte qu'une fonction dont la dérivée est continue ne devient maxima ou minima que pour les valeurs de la variable qui annulent la dérivée.
La réciproque n*est pas exacte : pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut que la dérivée change de signe; et un grand nombre de fonctions peuvent s'annuler sans changer de signe.
Nous appliquerons les considérations qui précèdent à l'étude de quelques fonctions.
l'» Étudier la fonction af lorsque x varie de 0 à ».
Commençons par chercher la valeur de cette fonction pour a? = 0. Si Ton. attribue immédiatement cette valeur à la variable , la fonction prend la forme indéterminée 0^ qui n'a aucun sens ; car, d'une part , toutes les puissances de 0 sont nulles ; et , d'autre part , toute puissance dpnt Texposant est zéro est égale à 1. Pour connaître la véritable valeur de af^ c'est-à-dire la valeur vers laquelle converge a?* lorsque x diminue de plus en plus, posons
si nous prenons les logarithmes des deux membres , il vient
logy = a?loga7.
Or, puisque x doit recevoir une valeur très-petite , posons-le égal à -, -5 étant très-grand ; on aura
y=-log-= — log-s.
280 THtolIB DES DÉRIVAIS.
Or, il est évident qu'un nombre très-grand est beaucoup plus grand que son logarithme (si par exemple les logarithmes sont
pris dans la base 10, le logarithme d'un nombre de lOOÔ chif-
fres a seulement 999 pour partie entière). - log z a donc pour
limite 0; et, par suite, logy diminue indéfiniment, d'où Ton conclut que y tend vers Tunité.
Pour étudier les variations de a?*, à pariir de la valeur 1 , prenons la dérivée de cette fonction. On a (258), pour expression de cette dérivée ,
le logarithme étant pris dans la base de Neper.
Si X est très-petit, cette dérivée est négative, of commence donc par décroître , et diminuera tant que Ton aura
c'est-à-dire
ou
Pour a? = -, la dérivée s'annule et la fonction devient minima;
X croissant à partir de la valeur -, la dérivée est toujours posi-
tive et a;* croît sans limite.
2*» Étudier la fonction
le logarithme étant pris dans la base de Neper.
Pour a? = 0 on a , évidemment , y = — oo. Si Ton prend la dérivée, on trouve
y=-ir-'
Cette dérivée est positive tant que x est plus petit que e\ la fonction augmente donc sans cesse lorsque x passe de la valeur 0 à la valeur e. La fonction passe alors de la valeur — a> à
THÉORIE DBS DiRITÉBS. 281
la valeur-. Cette valeur- est son maximum , et la dérivée défi e
venant ensuite négative, la fonction diminue indéfiniment, et
l'on voit sans peine qu'elle tend vers zéro lorsque x augmente
sans limite.
S'» On donne la somme a: + y. Trouver le maximum ou le minimum de «:"•+ y"*.
Remarquons d'abord que, la somme a? + y étant donnée, y est une fonction de a?, et que, par conséquent, 5?"'+ y** esit aussi fonction de a;; on peut, par conséquent, lui appliquer le théorème démontré plus haut (260).
Posons a? + y = 2a ,
Il faut chercher la dérivée de u et l'égaler à zéro ; or, on a évidemment
D'ailleurs, l'équation x-^y = 2a donne l+y'=0;
donc y' = — 1,
La condition vf = 0
revient donc à a?**"* = y"*~*,
et exige, par conséquent, que l'on ait a?=:y, et, par suite,
Pour savoir s'il y a maximum ou minimum, il faut chercher (260) si, lorsque a?, en croissant, passe par la valeur a, la dérivée, en changeant de signe, devient négative ou positive. Or, en supposant m plus grand que 1 , pour x plus petit que a ,
maf^^ — my
est négatif, et pour a? plus grand que a, cette différence est positive ; donc il y a minimum. La conchision serait opposée si m — 1 était négatif.
382 THiORIS DES DÈRIYiBS.
4'' Chercher es valeurs maxima et minima de Texpression
Cherchons d'abord Ta dérivée y' de y; on a, d'après la règle donnée (886) ,
^"" (a;«+a?+l)« "" (a;»+aî+l/'
Le dénominateur de y' étant positif, le signe de cette dérivée sera celui de ftr* — 10a: — 11. Or, ce Irinome est négatif quand x est compris entre les racines de réquation
et il est positif dans le cas contraire. Les deux racines de Téquation [1] sont :
les valeurs correspondantes de y sont
19zp2v/9Ï
on voit que la fonction y (qui ne devient pas infinie, et est par conséquent continue) est croissante lorsque a: varie de — qd à x'; elle décroît ensuite, lorsque x varie de a/ îi o^, pour augmenter indéfiniment quand x augmente à partir de la valeur af. On voit donc que la fonction atteint son maximiun pour x=x\ et son minimum pour x=x^.
On voit, d'ailleurs, que, pour des valeurs très-grandes de x, la fonction diffère peu de Tunilé ; car, en remplaçant , pour de telles valeurs, le numérateur et le dénominateur par leurs premiers termes, qui sont égaux, Terreur relative commise
THiORn DBS DiBIVilS. 283
sur Tun et sur Tautre» et, par suite, sur le quotient, est évidemment très-petite.
En résumé, la marche de la fonction est indiquée par le tableau suivant :
a7 = a:'= — 0,76S5... y = 12,6929... maximum
X = 2,4232. . . y = — 0,0262. . . minimum
a?=z=Qo y = l.
270. Les fonctions considérées précédemment sont continues, et les théorèmes démontrés (269) s'y appliquent sans difficulté; mais il n'en est pas toujours ainsi, et il faut alors avoir soin d'examiner à part les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction change brusquement de valeur. La considération de la dérivée ne suffit plus alors pour étudier les variations de la fonction.
Soit, par exemple, la fonction
a?*— 2a?+7 ^""ir»— 8a?+15*
On voit immédiatement que cette fonction est discontinue pour les valeurs de ip=3 et a?=5, qui annulent le dénominateur; et par conséquent on ne pourra appliquer les théorèmes de la théorie des dérivées que pour des valeurs de x variant entre des limites qui ne comprennent pas l'un des nombres 3 et 6. On a, en prenant la dérivée de y,
,—ftr' + 1^^ + 26
Si Ton résout Téqualion
on trouve x = — ^ — ,
et, par suite; ^-^ — 1,13173
les Tafems cotrfmwdinlrs de f sost
oa jr = 0,41619 SttTi
et, par suite, y^ est négatif tant que x est oompris entre — OD et j:', positif poin* les laleors de X coo^rises entre a/ et :r^, et il redeneni né^tif pour x pins grand qne x^. D*après oda, cm devrait oondore (M9; qne f décroit lorsque x varie dans le premier interralle, qn*il augmente dans le second et diminue dans le troisiàne. Mais, pour les raisons indiquées {dus haut, ces conditions cessent d*être exactes, à cause de la discontmmté de y.
y diminue, en effet , quand x varie de — acàx^:car, dans cet intenraUe, la fonction est continue et la dériTée .est native.
Lorsque x varie de x' à 3, y augmente; il devient infini pour X =3; puis il passe brusquement à la valeur — qd, etaugmente de nouveau jusqu'à x=x^, valeur pour laquelle y est maxi^ mum. A partir de la valeur x^, y diminue jusqu'à ce que Ton ait x=5, valeur pour laquelle y est — od ; puis cette fonction passe brusquement à la valeur -1- <* » el diminue ensuite sans cesse, à mesure que x devient de plus en plus grand.
Si on remarque , comme plus haut , que , pour des valeurs très-grandes de x, positives ou natives, y diffère peu de Tunité, on pourra représenter les conclusions qui précèdent par le tableau suivant, et l'on se fera facilement une idée de la marche de la fonction , qui , dans chaque intervalle , varie toujours dans le même sens.
x = x'=— 1,1387... y = 0,4l619... minimum
x= 3 y = dzoo
x = x"= 3,80599... y = — 14,41619... maximum
X= 6 y=:qioo
THÉORU DES DÉRIVÉES. 285
Deux fonctions qui ont des dérivées égales ne peuvent différer que par une
constante.
27 i . Si deux fonctions ont des dérivées égales, leur difTérence a évidemment pour dérivée 0. Il suffit donc, pour prouver le théorème énoncé, de faire voir qu'une fonction dont la dérivée est nulle est nécessairement constante.
Soit ¥{x) une fonction dont la dérivée soit nulle. Considérons les fractions suivantes
fV(x + h) — F(x) h -'*'
F(a?+nA) — F[a? + (n— 1)A]
Supposons que h tendant vers zéro , n augmente de telle manière que le produit nh conserve une valeur constante k. Les seconds membres ci, et, ... «n tendront tous vers zéro, car, par hypothèse, le rapport de l'accroissement de la fonction à Taccroissement infiniment petit de la variable a toujours zéro pour limite : en chassant les dénominateurs des équations [1], et ajoutant ensuite ces équations, il vient
¥(x + wA)— F(a?) = F(a? + A;) — F(;z?) = A(6l-}-^+ ...eO,
et, en nommant vj le plus grand des nombres ci, e«, ... en ,
F(x + A) — F(^) < WTift < Yj A.
Or, les quantités 6i, «s, ... <t» tendant toutes vers zéro, la plus grande d'entre elles r\ peut devenir aussi petite que Ton veut, et, par suite, la différence, ^r«, F(x + k)'-F(x)^ ne peut différer de zéro. Deux valeurs quelconques de F(x) sont donc égales entre elles, et la fonction est constante.
286 THÉORIS DES DÈRIVÉBS.
Revenir de la dérivée ^ la fonction primitive dans les cas les plus simples.
272. La recherche d'une fonction dont la dérivée est donnée est l'un des problèmes les plus difficiles que présente l'analyse, et l'on est loin de savoir le résoudre en général. Le théorème qui précède prouve au moins qu'une fois une pareille fonction trouvée, toutes celles qui ont, comme elle, la dérivée proposée, s'obtiendront en lui ajoutant une constante, de valeur arbitraire.
Nous nous bornerons ici à traiter le problème dans les cas les plus simples, où la solution s'aperçoit en quelque sorte immédiatement :
m+i' sin mœ
m cosmx
m a'' loge Togo"
V Quelle, est la fonction dont la dérivée est Aaf»? 2« Quelle est la fonction dont la dérivée est cos mxl y Quelle est la fonction dont la dérivée est sin mxl
4*" Quelle est la fonction dont la dérivée est a'^ ?
6» Quelle est la fonction dont la dérivée est tang iP?
^ . sina? cos'd?
On a tango? = = .
° cosa? cos X
Et Ton volt que la fonction demandée est — log cos x. 6» Quelle est la fonction dont la dérivée est î
On a, en effectuant la division,
La fonction demandée est par conséquent
Nous nous bornerons à ces exemples , ne pouvant indiquer ici aucune des méthodes que l'on emploie pour résoudre le problème dans des cas un peu moins faciles.
THÉORU DES DÉRIYÉES. 287
RÉSUMÉ
246. Développement d'une fonction entièrede (co^h) ; définition de la dérivée d'une telle fonction. — 247. Oénéralisation de la définition précédente.
— 248. Dérivées successives. — 249. Dérivée de a". — 2tf0. Dérivée de log X. — 2SI . Dérivée d'une somme. — 252. Dérivée d'une fonction de fonction. — 22$3. Exemples. — 2M. Extension à un cas plus général. — 2o5. Dérivée d'un produit. — 24*6. Dérivée d'un quotient. — 257. Dérivée d'une puissance. — 258. Dérivée de u", u et v étant deux fonctions de x. — 259. Applications des règles précédentes. — 260. Dérivée de sin œ, — 26 1 . Dérivée de cos a?. — 262. Dérivée de tang x, — 265. Dérivée de sécx. — 264. x désigne toujours le rapport de l'arc au rayon. — 265. Dérivée de arc sin x. — 266. Dérivée de arc cos x.
— 267. Dérivée de arc tangx. — 268. Tableau des formules qui donnent la dérivée des fonctions les plus simples. — 269. Condition pour qu'une fonction soit croissante ou décroissante. Application à l'étude de quelques fonctions , et particulièrement de leurs maximum etminimunf.
— 270. Examen d'une fonction discontinue. —27 1 . Deux fonctions qui ont même dérivée ne diffèrent que par une constante. — 272. Retour de la dérivée à la fonction primitive.
EXERCICES
