SÉRIES QUI SEEYENT AU CALCUL DES LOGARITHMES

Développement en série de — i.(l— u).

275. Soit X une variable que nous ferons varier depuis a? ==0 jusqu'à x=2U,u désignant une constante positive et moindre que 1.

Posons

le signe / désignant , comme dans le chapitre précédent , un logarithme népérien,

la dérivée de f[x) est ; et l'on a évidemment

ainsi que Ton s'en assure , soit en faisant la division , soit en sommant la première partie du second membre à l'aide de la théorie des progressions.

Posons aussi

[3] cp(a:)=a: + | + | + ...+^,

la dérivée de <p(a?), désignée suivant Thabilude par ^\x\ sera précisément la première partie de f\x\ et Ton aura

[4] ?'(a?) = 1 + a: + ^ + ... + (xr-K

En retranchant l'équation [4] de l'équation [2], il vient

nx)-^\x)=^

Le second membre de cette équation est positif et moindre

SfiRlBS QUI SERVENT AU CiLCUL DES LOOARITHIIBS. 29r

que z , tant que x n'çst pas égal à u, on a donc

Ces inégalités montrent que les fonctions f[x) — ^{x) et f{x)—^x)— , , sont, la première croissante, la

deuxième décroissante quand x croit de 0 à t^.

En effet , les deux fonctions sont continues et la première a une dérivée constamment positive, tandis que la seconde a une dérivée constamment négative .

D'ailleurs les deux fonctions dont il s'agit sont nulles pour a? = 0, donc , pour a? = ti , la première est positive et la seconde négative.

On a par conséquent

/tt^)-cpW(^^,)(,^)<0,

ynr^i

fin) est donc compris entre ç(w) et <p(w)+ , . , et il

est égal à cp(t«), augmenté d'une quantité moindre que

, . y celte quantité peut évidemment se représenter

P*^ ^ i ^\\(\— \* ^^ désignant par 6 un nombre inférieur à l'unité.. On a donc enfin

c'est-à-dire

w* , tt* . w* . w*^*

u étant, comme on l'a supposé, inférieur à Tunité, on v(Ht que

(n+i)(i-fi)

292 sÉiHi oa SKETisrr ac calctl ms LOGUumus.

teod fers xéro à mesure que m augmente , et Fon a, par conséquent,

La démonstration même prome qne la série qui forme le seccmd membre est con? ergente lorsque « est plus petit que l'unité. On pourrait aussi le déduire des règles démontrées (197).

Déreioppeaeal de 1(1 + •>

S74. Soit X une irariable que nous ferons varier entre les limites 0 et « , « désignant une omstante positifc moindre que 1.

Posons A^> = W+a?).

la dérivée de f[x) est t— ; — , et Ton a