j-ar

ir;^iiiH hi

nx) = l-x+x'-a^.,.±:x^^zçiar±i:^.

Posons aussi 9{x)= x—-^ -f — ... ± — ■

et désignons , suivant la notation habituelle , par <p'(ar) la dérivée de <p(^), nous aurons

[4] ^\x)=l—x + x^...±:ar'^.

en retranchant Téquation [4] de diacune des équations [2] » on obtient

Les seconds membres de ces équations sont de signes contraires , par conséquent les deux fondions f^x) — ^x) et

SfiRfES QUI SERVENT AU CALCUL DES LOGAttlTHlIBS. 293

f[x) — y(a:) dz , ayant leurs dérivées de signes contraires,

sont Tune croissante , l'autre décroissante quand x croit de 0 à w, et comme elles sont nulles pour a? = 0, pour a? = w elles sont de signes contraires , et f[u) est, par conséquent, compris entre

<p(îi} et <p(w)q.^ On a donc, en désignant par 9 un nombre moindre que l ,

yn^i

et, par suite, comme , tend vers zéro lorsque n augmente,

Nous remarquerons , comme à la fin de l'article précédent , que la démonstration même de la formule [8] prouve que la série qui forme le second membre est convergente lorsque ti est moindre que 1 .

' La démonstration pourrait même se faire sans modifications si l'on avait v=l ; et la série précédente peut donner, par conséquent, le logarithme népérien de 2.

Calcul des logarithmes népériens.