Soit X une variable que nous supposons comprise

entre 0 et une limite constante u^ inférieure ou égale à l'unité.

Posons

f[x) = arc tang x ,

nous aurons (262)

01? S^ Jî' jg^**-^

Posons ?(*) = '^— 3+-5— y — - — 4;jzn' et, par suite,

<p'(a?) = 1 — ^ + ar* — a?* — ...— a?***-»,

on aura f[x) — ^\x) = j-TT^-

Par conséquent, la différence fix) — ^'(x) est constamment positive et moindre que x^. On peut donc écrire

r{x)—^xx)>o,

et, par suite, la fonction /"(#)— ^x)

298 SÉRnS QUI SERVENT AU CALCUL DES LOGARITHMES.

est croissante; et la fonction

est décroissante lorsque x varie àtOhu. Mais ces deux fonctions sont nulles pour à* = 0. La première est donc positive et la seconde négative pour a?=w, en sorte que f{u) est conapris

entre fs^iu) et yM + 4 1 .* Et Ton peut écrire , en désignant

par ô un coefficient moindre que 1 >

yky^\

c'est-à-dire

arctang«=«-- + ^- + ...^-5^+ô^:p^î

et comme, pour une grande valeur de n, lé terme 0 . , est aussi petit que Ton veut, on a

(|#8 i|<6 qjTI

arc tang î^ = î*— -.+ — — — — ...•

Les deux membres de Féquation changeant de signe avec u , celle-ci s'applique évidemment aux valeurs de u comprises entre T-l et + l.

!I80. Si Ton donnait une tangente u plus grande que Tunité, la série qui donne Tare correspondant devenant divergente ne serait plus d'aucun usage, mais on pourrait facilement calculer l'arc demandé en cherchant à sa place arc lang - , qui

est évidemment le complément et qui sera formé par une série convergente. Soit, par exemple, à trouver

arc tang 4,49341 on fera usage de la formule ,

|-arctang«=arctanéi = i-^,+ ^-^+....

Pour calculer les termes successifs de cette série , on formera