Cas où m prend des valeurs fractionnaires. Si, dans
IH — ) > on attribue à m des valeurs fractionnaires de plus en plus grandes, la limite sera toujours la même
et égale à e. Pour le prouver, supposons que, n désignant un nombre entier très-grand, on ait :
a étant moindre que l'unité ; l'expression (l +-) sera évidemment comprise entre les expressions
Car, pour obtenir la première de ces expressions , il faut, dans 1-) — j , remplacer le terme — et Texposant m respectivement par les nombres plus grands - et n + 1 ; pour obtenir la seconde, il a fallu remplacer les mêmes quantités par les nombres plus petits — r-rr ct n. Or on a :
Comme n est entier et très-grand, ( 1 + - ) et n + "qrr )
diffèrent très-peu de e 1 + - et 1 -| r-- diffèrent très-peu de
l'unité, et les deux expressions précédentes ont Tune et l'autre e pour limite. Il en est, par conséquent, de même de
(l + -) > qui est compris entre elles.
57. Limite de fl -| — j , quand m est négatif, et augmente EN VALEUR ABSOLUE. La limite de (l-\ — ] est encore la
même, quand on alliibuc à m des valeurs négatives croissantes. Car, posons m=: — {x; u étant négatif nous aurons :
(1 \v—^ 1 -j — — -T j tend vers e
(^6), et ( 1 + -— 1 j tend vers 1 : donc encore ici : li.n(l+i)"=c.
1 H j ou DE f 1 j , QUAND m CROÎT
INDÉFINIMENT. On a évidemment :
donc :
/ IX-*" 1 [13] i-^^-^i^+Tn) =-e
Puis :
ne:
[14] iim{x-^y=\.
g VI. Sommation des piles de boulets
59. Problème. La méthode la plus simple repose sur la solution préalable du problème suivant :
Trouver la somme des puissances m"'" des termes d*une progression par différence. Soit la progression :
dont la raison est r, et dont le nombre des termes est p. On veut trouver
On a, ^ étant le terme qui suivrait k :
b = a-\-rj c = b-\-r, d = c -\-r,.... l^=k-{-r.
Élevons ces diverses égalités à la puissance (771 -f-l); nous aurons :
''+' = (/^ + ry"+i^/^'«+^+(7?i+l)/^'"r+^-^^^i^
Ajoutons toutes ces égalités, il vient, en désignant généralement par Sj^ la somme a^ -{-b^-\- ....-\-k^;
[l 5] l^^' = a^^'+ (771 + 1 )7'S. + (!îi±i)l^ r»S.,
Cette équation fera connaître S"*, si l'on connaît Sm-i, S„,2..., Sî, Si. En y faisant donc successivement ?7i= 1, = 2, =3, etc., on obtiendra successivement Si, puis S», puis S3, etc.
60. Application. Supposons, par exemple, que la progression proposée soit la suite des n premiers nombres entiers :
t1.2.3.4...,7i; on a ici :
S^=li* + 2'*+3!*+... + îi'^i a=l, Z = n+1, r=\, p=n;
et notre formule générale devient :
[16] (n + ir^^ = l + {m + l)S^+^^^^à^ . (m4-l)m(m-^l)c , , (m+ l)m...3.2 ^ ,
+ 1:2:3 s.^+-+ — YJZ^ — ^^+''-
Faisant d'abord w= 1, il vient ;
(n+i)^ = i + 2S,+n; d^où s^^^(n+l)^
formule déjà connue.
En faisant m = 2, il vient :
^»QÙ e^^2(n+l)3-2(n+l)-3n(n+l)^
ou [1] S.= l^ + 2'+3'+...+n«=îil!i±iH!!i±I).
Telle est la formule qui va nous servir pour la sommation des piles de boulets.
Elle se déduit, comme on voit, d'une formule beaucoup plus générale, qui pourrait donner également la somme des cubes, la somme des quatrièmes puissances.... des nombres naturels. Si l'on veut seulement arriver le plus simplement possible à ce résultat, qui est le seul dont on ait, actuellement, à faire usage, on peut procéder comme il suit.
6 1 . Recherche directe de la somme des carrés des n premiers NOMBRES entiers. On a évidemment :
ajoutant toutes ces égalités, il vient, après que l'on a supprimé les termes communs aux deux membres, et en désignant par Sa
la somme des carrés des nombres naturels et par Si la somme des premières puissances :
(n+l)'=l + 3S2 + 3Si+n,
équation identique à celle du paragraphe précédent, et dont on déduira la môme valeur de Sj.
62. Piles triangulaires. La base d'une pile triangulaire est formée par des boulets rangés en triangle équilatéral. La première rangée contenant 1 boulet, la secondé 2, la troisième 3, la n"" n, le nombre total des boulets employés est ici :
La tranche immédiatement supérieure est formée par des boulets rangés également en triangle équilatéral, dont le côté contient un boulet de moins; le nombre des boulets de cette seconde tranche s'obtiendra donc en changeant, dans la formule précé-
j * / ,N • • (n— l)' + (n— 1) T , . dente, n en (n— 1) ; on aura ainsi ^ ' -, La troi-
sième tranche contiendra de même^ ^—^ ~ boulets; et
1*4- 1 ainsi de suite jusqu'à la première, qui en contient — -^ — .
Le nombre total est, d'après cela :
ce que Ton peut écrire de la manière suivante :
^ ,^»^(,^ly-t-(n-2)«+...+l^ , n4-(n~l)+(n-2)+...+ l 1 — 2 "^ 2 '
ou, en vertu des formules écrites plus haut (60) :
ou [18] ^^«(n+lK«+2)^
Telle est la formule qui exprime le nombre des boulets contenus dans une pile triangulaire.
65. Pile a base carrée. La base d'une pareille pile est formée par des boulets rangés en carré, dont le nombre total est 7i% n désignant le nombre de ceux qui sont contenus dans le côté de ce carré. La seconde tranche contiendra (n — 1)^ boulets, la troisième (n— 2)^, etc., et enfin la dernière n'en contient qu'un. Le nombre total est donc :
Q = 7i2 + (n-I)'+(n-2)^+...+ l ou [19] - Q^n(n+lK2n-fl)^
G4. Pile a base rectangulaire. La base d'une pareille pile est formée par des boulets rangés en rectangle. Si l'un des côtés de la base contient m boulets et l'autre côté ??, le nombre total des boulets qui la composent sera mn. La tranche suivante est un reclangle, dont les côtés comprennent respcclivemcnt (m — 1) et (n— 1) boulets; elle en contient, par conséquent, un nombre égal à (m — 1) (n— 1); la troisième tranche en contient de même (m — 2) (n — 2) ; et ainsi de suite jusqu'à la dernière, qui est une file de {m—n-j-l) boulets (si l'on suppose m>n). Le nombre total que nous cherchons est donc :
Posons m — n=p : on aura : m=n-{-py et la formule deviendra :
c'est-à-dire :
ou, d'après. les formules connues (00) :
r roni R n (71 -f ' ) (2?l -f 3p + 1)
ou enfin [20] R=:
60. Moyen de vérifier des formules. Nous ferons connaître, à l'occasion des formules précédentes, un mode de raisonnement très-fréquemment employé, et qu'il suffira de développer sur un seul exemple.
Supposons^que l'on donne, sans démonstration, la formule
l.+ 2^ + 3' + ... + n'=î^±lK!^î±i\
Comment devra-t-on s'y prendre pour en vérifier l'exactitude? On commencera parfaire les hypothèses les plus simples :
7ï(n-f-l)(2?i+l) 1.2.3 , Pourn = l, on a : -^ — ■ — ^-^ ■ — ^=~--— =i;
Pourn = 2.ona:"^" + 'f"+')^gf-^=5 =l'+2'; Pour n = 3. on a : "(n+l)(-2»+l)^3^^,^^, .^
La formule est donc exacte pour les valeurs 1, 2, 3 du nombre n. Cela posé, pour prouver qu'elle est générale, il suffit de montrer, qu'en la supposant vraie pour une certaine valeur de n, elle l'est, par cela même, pour la valeur immédiatement supérieure. Admettons que l'on ait :
il fluit prouver que l'on aura, par suite :
Les premiers membres des équations [a] et [b] ont pour différence (n + If. Si donc il en est de même des seconds membres, la première égalité entraîne nécessairement la seconde. Or on a :
(nH-l)0? + 2)(2?i+3) n(n + I)(2?t-|-l) 6 b
Alg. sp. B. 4
Le théorème est donc vérifié.
Une marche semblable s'appliquerait aux diverses formules, qui représentent le nombre des boulets dans les différents cas.
RÉSUMÉ
50. Définition des combinaisons; ce que l'on nomme arrangements, produits diiïérents. — 31. Nombre des arrangements de m objets, pris n an. — 32. Nombre des permutations de m objets. — 33. Nombre des produits différents de m objets n à n. —~ 34. Forme plus simple de l'expression du nombre des produits différents. Le nombre des produits différents de m-letlres n à n est le même que celui de m lettres (771 — n) à (w — n). — 3o. Le nombre des produits différents de m objets n ànest la somme des nombres de produits différents de (m — 1) objets n à n, et de (?n— 1) objets (/i— 1) à (n— 1). — 36. Le produit de n nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des n premiers nombres entiers. — 37. Forma tion du produit de m binômes qu ontle même premier terme. — 38. Puissance d'un binôme. — 30. Terme général du binôme. — 40. Moyen de former un terme, connaissant le précédent. — 41 Les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux. — 42. Les coefficients vont en croissant jusqu'au milieu. —
43. Puissance d'un binôme dont le second terme est négatif. —
44. Somme des coefficients du binôme. — 4S. La somme des coefficients de rang pair est égale à celle des coefficients de rang impair. — 46. Relations entre les coefficients de deux puissances succcessives de (x-\-a). — 47. Puissances successives de y/^^. — 48. Développement de (a-(-6\/ — i)*". — 49. Conditions pour que le résultat soit réel. — ^0. Puissance d'un trinôme. — ol. Terme général du développement. S2. Terme général du développement de (a -{-6-f c+d)»».— i53. Théo-
(1 X*" l-j-- j a une limite,
quand m croît indéfiniment. — i>^. Cette limite est e, quand m est entier. — Î36. Elle est encore e, quand m est fractionnaire. — i>7. Elle est
encore e, quand m est négatif. — J>8. La limite de (l-j — ) ou
/ 1 \"* 1 de f 1 1 est-. — S9. Somme des puissances semblables des
termes d'une progression. — 6p. Application. — 61. Somme des carrés des nombres naturels. — 6'2. Piles triangulaires. — 63. Piles à base carrée. — 64. Piles à base rectangle. — 60. Moyen de vérifier l'exac-
COMPLÉMtNT DES ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE. 51
\\\\i^^ de 1* forAttlê ^iii doftne la somme d«s carr<^s des ncmbres
nalurcls.
L En désignant par [m] le produit în{m — 1) {in — n+l), vérifier les
formules :
2" [{a+'b+ c)]=M+ . ■ .. + ^ ,,, , Ji'.^;;;^''| ^ , ,^ w il: ['^]+ ... ;
le second membre contenant les termes analogues à ceux que nous avons écrits, et correspondant à toutes lès Valeurs de a. p, y, pour lesquelles a + p + Y = ?n.
On regarde [a] comme égal à 1.
On considère chacun des termes comme représentant un nombre d'arrangements.
II. Trouver le nombre a; des termes du développement de («+&-}- c)" et le nombre y de ceux de (a + & + c + d)".
On trouve :
*- 172 ' ^" rxâ •
in. Véiifier la formule :
On démontre que, si la formule est vraie pour deux valeurs consécutives de n, elle est vraie pour la valeur immédiatement supérieure.
