Limite de fl + — j , quand m croît indéfiniment, m

RESTANT ENTIER. Puisque la série e est convergente (11), on peut donner à n une valeur assez grande , pour que l'erreur commise, en négligeant tous les termes qui suivent le (n+ 1)***, soit inférieure à une quantité donnée a, si petite qu'elle soit ; de sorte qu'en désignant par e^ la somme des {n-{- 1) premiers termes, on a :

D'un autre côté, si Ton considère les {n + 1) premiers termes du développement, on reconnaît qu'à mesure que m croît indéfiniment, n restant fixe, les différents numérateurs tendent vers une limite égale à Tunité (55, S'») ; par suite, chaque terme du développement a pour limite le terme correspondant de e^; et leur somme, qui se compose d'un nombre fini des termes, a (55, 2°) pour limite en. On peut donc prendre m assez grand, pour qu'en désignant par An la somme des {n -j- 1) premiers termes du développement, l'on ait :

De ces deux inégalités, on conclut :

e-An<2a.

Ainsi, après avoir choisi pour n une valeur fixe suffisamment grande, on peut toujours, en faisant croître m indéfiniment, satisfaire à la dernière inégalité. D'ailleurs, si l'on donne ensuite à n des valeurs indéfiniment croissantes, le développement

An augmente, et tend vers sa limite hm n -| — j ; 2a tend vers

zéro ; donc :

e-lim(l+i)*" = 0, ou lim(l + i)=e. [12]