Problème I. On donne un polynôme du second degré, à

Irais variables,

[I] Xx' + XY + yz-' + 2nyz + 2B'xz + 2B"xy

-i-2Cx + ^G'y + 2G"z+D;

et ion demande de remplacer x, y, z, par trois variables nouvelles, liées aux premières par les relations,

iX=zaU-{-(lV-\-(t'w, 2 = Y^ 4" ï'^ + Y^^> et s imposant les conditions suivantes : 1° Le polynôme prendra la forme [3] Gw'^-|-G'i;^ + G"î/.'--f Hu + H'v-fH"i(; + K;

'2" Les neuf coefficients «, «', a", p, p', p", y, y', y", seront liés par les relations j

(«'+?' +ï'=l, («a'+pp'+Yï'=0,

[4] a'^+p'* + y2 = l, a«" + pp'' + Y/ = 0,

Ce problème se présente en géométrie analytique, lorsque l'on veut simplifier une équation du second degré, en changeant les directions des axes des coordonnées, sans qu'ils cessent d'êlrc rectangulaires.

En multipliant respectivement les équations [2] par a, p, y, et en les ajoutant ensuite membre à membre, on a, d'après les équations [4].

et Ton trouvera, d'une manière analogue ;

Par conséquent, pour que les polynômes [IJ et |3J soient équivalents, on doit avoir, en identifiant les termes du second degré :

G (.X + ?y + M' + G' (a'x + ^'y + y'zy + G" {a"x + p"i/ + fyy = Ax' 4- A.V + A'z^ + 2B2/2 + 2Ji'xz + 2Wxy ;

ce qui donne les six équations suivantes:

( Ga2 + G'a'2 + GV2 ^ ^ l Gap + G'a'p' + G Vp''z:z: B",

[5] |gP' + G'P'2+ G'F = A, JGay-f-G'ay + GVY^B', ( Gy' + G'f + GY' ^ A'; ( GPy + G'p'y' + G'^p'^y' -B.

Multiplions respectivement la première, la quatrième et la cinquième équation du groupe [5] par a, p, y, et ajoutons-les ensuite; il viendra :

FAI ' Ga=:Aa + B''p + B'y.

Si ron multiplie la seconde, la quatrième et la sixième équation du même groupe par p, a, y, on aura de même :

[A] Gp = A'p + B''a+BY;

et l'on trouvera de même :

[A] • GY=:A"Y + B'a + B^

Ces trois équations ont lieu entre a, p, y; elles sont du premier degré; donc on ne pourra en tirer qu'une seule valeur de chaque inconnue, à moins que le dénominateur commun ne soit nul. Or, on satisfait à ces équations, en posant;

Cette solution n'étant pas admissible à cause des relations [4], il faut que le dénominateur soit nul ; et l'on doit avoir, par conséquent :

(A-G) (A'— G) (A"—G) — BXA— G) — B'^(A'— G)- B"^ (A"— G)