SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
559. Formule générale qui représente l'une des inconnues. Considérons n équations à n inconnues :
aiir, +«2^2 + «3373 +... + diXi -\-...-\-a„x„ = l^^ ai'Xi + a/a?2 + «s'^z^s + • • • + «.'^.-j- '.' + aj'x„= l,,
ai% + ck^'Xi + ai% + . . . + ai% + . . . + aj'x^ ~ Z^,
«i"^i+ 02^*^2 + «3"^3 + . . . + a/'Xi -f- . . . + a'^^x^ = l„,
ttij a^... a„, «iS «2^...^/... a„" désignent des coefficients quelconques, tout à fait indépendants les uns des autres; a^^ n'est, par exemple, nullement égal au carré de a^ ; et le chiffre 2 n'y figure que comme un indice. En général, a,* n'a aucune liaison avec «i, et n'en est nullement la puissance /c; l'indice inférieur i indique le numéro d'ordre de l'inconnue, et l'indice supérieur k, le numéro de l'équation.
Gela posé, considérons le produit :
P=aia2a3..-^»(«2— «i)(%— «i)---K— ^«i)--.K— «i)(«3— «2)(aA— «2)-.-
{ai —a^)... (a„ — aa) («4 — «3) • . . («„ — fla) . • . («„ — a,.-i) ,
obtenu en faisant le produit de tous les coefficients de la première équation par leurs différences deux à deux, et ayant soin de prendre, avec le signe — , dans chaque différence, le terme affecté du plus petit indice. Ce produit P se composera d'un grand nombre de termes, dans lesquels les quantités aj, Gi...a„ auront divers exposants ; chacun des termes contiendra toutes les lettres Ci, a2...a„; mais l'exposant de chacune d'elles sera au plus égal à n. Nommons R ce que devient ce produit, lorsque l'on considère les exposants comme des indices supérieurs : R contiendra alors les différents coefficients du système d'équation proposé; et chacun d'eux figurera, dans chaque terme, au premier degré, puisque, par hypothèse, nous avons remplacé
les exposants par des indices. Si, par exemple, la puissance k de a, figure dans le produit P, nous la remplacerons, pour obtenir R, par ûi*, coefficient de Xi dans l'équaUon de rang k ; en sorte que les deux expressions P et R s'écriront de même, mais représenteront des valeurs très-différentes.
Supposons maintenant que l'on rassemble, en un seul, tous les termes de R, qui contiennent a.- affecté du même indice supérieur; R prendra la forme
[2] R= kUi' + A,V+ A,W + ...+ A.V+ ... + A,«flA
Ai*, Ai^... A.** étant des sommes de produits, dans lesquels ne figure évidemment aucune des quantités cf»*, ai^...ai'. Or je dis qu'on a les équations suivantes :
0= Ai'a, + A^a,'+ Ai'(h\.. + Ara,\
0= A,' au-\-A^a,'+ Ai'a,^,. + Ara,\ 0 = A/ a^ + Ai'a,' + A^aJ . . . + A.-" a„« ;
ou, en d*aulres termes, que l'expression R s'annule, si l'on y remplace, dans tous les termes, l'indice inférieur i de la lettre a par une autre valeur quelconque 1, 2..,k...n. En effet, l'expression P, renfermant en facteur («1— a^) (oa — en) .•• (a» — a»)» s'annule identiquement, si l'on suppose, par exemple, ai=ak : le résultat de cette substitution doit être zéro, indépendamment de toute valeur attribuée aux lettres ûi, cfa--*^»- Les termes doivent donc se détruire identiquement, et être égaux deux à deux et de signes contraires. Or, il est évident que cette identité ne sera pas altérée, quand on considérera les exposants comme des indices, afin de passer de l'expression P à l'expression R.
Les équations [3] étant démontrées, on obtiendra évidemment la valeur de a?,-, en muUipliant les équafions proposées [1] par A»*, Ai'... A»**, et en les ajoutant. Les coefficients de Xi, rr2...rr,i, rc,+i...a7„, deviendront, en effet, égaux à zéro, en vertu des équations [3] ; et le coefficient de Xt deviendra égal à R, en vertu de [2],
366 APPEISDiCE.
On aura donc :
l{x,= A,H,+ Kn,+ ... + ArL d'où [4] ^^^A//.+ A.^/^...+ A.V,.
Ainsi, qumicl on a formé le dénommateur R, on forme le numérateur d'une inconnue quelconque x,-, en remplaçant, dans chaque lerme de R, les coefficients a/, af'\..ar de x,- par les termes tout connus correspondants îj, J2 ...In-
On obtiendra, par ce procédé, la valeur de chacune des inconnues. On voit que toutes ces valeurs ont le même dénominateur R. Si R n'est pas nul, chaque inconnue a une valeur unique et déterminée; et le système des équations ne présente aucune particularité. L'étude de l'expression R conduit à une théorie importante d'analyse algébrique, que nous ne pouvons indiquer ici.
540. Nous donnerons cependant quelques développements sur la forme du dénominateur R. Nous étabhrons d'abord la proposition suivante :
Théorème. Le produit V, et, par suite, V expression R, change de signe, sans changer de valeur ^ si deux indices cet c' y sont changés Vun dans Vautre,
Remarquons, en effet, que, dans le produit P, les seuls facteurs, sur lesquels ce changement exerce une influence, sont ceux dans lesquels figure «c ou ac , c'est-à-dire, en supposant c<c':
(Cfe— «1) (ao—Cïa) ... (^e— «<.,.) (c/e 4-1— ac)...(^c «<.)...((/„— aj
{a, «i)--K'— «c-l)K û'e+i)...(Cf,.~ae--))K-+l — «c-)---(«n— «c).
Si Ton change c en c', et c' en c (sans changer, bien entendu, c — 1, c-f 1, c'— 1,6'' + 1, qui sont des indices différents de c el c'), ces facteurs, pris ensemble, conservent les mômes valeurs absolues, et ne font que se substiliicr les uns aux autres; mais il y en a un certain nombre qui changent de signe.
1** Les facteurs (a^— aj) (cfe— -«2)...(0c — «c-i) de la première ligne et les facteurs {ac — Oi) (ac — a2)...(ae — cfc-i) de la seconde ligne, ne font que se changer les uns dans les autres.
2* Les facteurs {a^+i — Oc) («c+2 — «c) • ■ • (^c-i — Oc) ,
(Gc — flc+i) {de — flc+â) . • • («c- — flc -l) ,
échangent leurs valeurs absolues ; mais chacun d'eux devient égal et de signe contraire à celui qui lui correspond. Gela fait en tout 2 (c' — c — 1) changements de signes, qui n'exercent pas d'influence sur le signe du produit.
3*» Le facteur (a^ — ae)
change de signe sans changer de valeur.
4° Les facteurs (ac+^^aa) {ae-^2— «e).-. (««—««>
{ao+i—Qc') (ao+s— ttc) ... (a^— «c)
ne font que se changer les uns dans les autres.
En résumé, le seul changement, que subisse le produit, provient du changement de signe de («c — «c); et, par suite, P et R changent de signe, sans changer de valeur, lorsqu'on change c
en c', et c' en c.
341. Corollaire. II résulte de la proposition précédente, que, dans chaque terme des polynômes P et R, les exposants de deux lettres Oc et ac- sont toujours inégaux.
Si, en effet, dans un terme de ces expressions, a, et ««' avaient le même exposant, ce terme ne changerait pas par le changement des indices c et c'; il ferait donc partie du polynôme + P et du polynôme égal et de signe contraire — P; et, par suite, il cnirerait deux fois dans P avec des signes différents, et pourrait être supprimé.
Il est clair, d'ailleurs, que chaque terme contient, au moins une fois, chacun des facteurs a,, «2...cr„; et comme Texposant de ces lettres ne surpasse jamais n, ils ne peuvent être tous différents, qu'en reproduisant, dans un certain ordre, la série des
nombres 1, 2 ...n; en sorte que le terme général de P (ou de R, car c'est la même chose) est
«1, a2...a„, désignant les nombres entiers 1, 2.,.n, pris dans un certain ordre.
On pourra donc, en intervertissant convenablement les facteurs, écrire ce terme général de la manière suivante :
Piï p2 •••?«» représentant aussi les nombres 1, 2 ...n, écrits dans un certain ordre.
542. Formation de R. Cette remarque permet de former tous les termes de R ; mais il reste à déterminer le signe qui convient à chacun d'eux. On remarquera pour cela que, si l'on change dans R (339) deux indices inférieurs l'un dans l'autre, R doit changer df signe. Les termes positifs doivent donc se transformer en ceux qui sont actuellement négatifs, et réciproquement. En faisant deux changements d'indices de suite, les termes primitivement positifs reprendront le signe + (sans que pour cela chacun d'eux reprenne sa valeur); et, en général, un nombre pair de permutations, effectuées sur deux indices, changerait les termes positifs entre eux, tandis qu'un nombre impair de permutations transformera les termes positifs en termes actuellement négatifs, et réciproquement.
Si donc on veut savoir, si deux termes donnés ont le même signe ou des signes contraires, il suffit de compter le nombre de permutations» d'indices inférieurs nécessaires pour passer de l'un à l'autre : si ce nombre est pair, les termes ont le même signe ; s'il est impair, leur signe est différent.
D'après cela, pour former tous les termes de R, on prendra le premier terme
puis on changera successivement les uns dans les autres les indices inférieurs, en ne faisant qu'un seul changement à la fois, et changeant chaque fois ie signe du terme obtenu.
RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES. 369 Si, par exemple, n = 3, on obtiendra :
«1* «2^ Gi^ — «1* flj' «s' + CTj* CEi^flj'— «3* fla^ ai' + «2* Aj' ûi* — Cl* ûi' «s' ;
expression dans laquelle chaque terme s'obtient du précédent, en changeant son signe, après avoir interverti deux indices inférieurs de la lettre a,
RÉSUMÉ
539. Formule générale qui représente la valeur d'une inconnue satisfaisant à un système de n équations à n inconnues. — 340. Le dénominateur commun change de signe, lorsqu'on permute deux indices inférieurs l'un avec l'autre. — 341. Les indices supérieurs de deux lettres sont toujours inégaux, dans un même ter.re. — 542. Formation du dénominateur commun.
Alg. sp. D. îk
