IX. Vérifier la formule

(x + a)" rrrxw + ma (a; + p)">-' + *i^^çl^a(a — 2p) (X 4- 2p)»»'

+ . . . . + ma[a —(m— l)p]»»-2|a; + (m— l)pj +a(a — îTip)"*-'.

Cette formule, dans le cas de P = 0, ne difTère pas de celle du binôme : elle a lieu, quelque soit [5.

Application de la méthode du n" 65 : ou vérification directe.

X. Nombre de manières de décomposer un polygone en triangles par les diagonales : démontrer les formules :

I>,.„=:I>,. + Ph-,P. + IV. l\+ . . . . + PP3P,.-, + Pn

l\ désignant de combien de manières cette décomposition peut se fdire, pour un polygone de n crûtes.

On cherche, pour la première, de coml)ien de décompositions fait partie chacun des triangles qui ont pour base un même côté dupoiygore; et, pour la seconde, dans combien de décompositions entre une même d'agonale.

XL Si l'on considère une permutation de n nombres 1, 2, 3,...n, que Ton dise qu'il y a dérangement, quand un nombre est suivi, immédiatement ou non, d'un autre plus petit que lui; prouver que le nombre total des dérangements,

contenue dans les permutations de ces n nombres, est égal à (1.2....n). — -,

On prouve d'abord que D„+i = {n + 1) Dn+ -^ Pn, en désignant par D„le nombre de dérangements relatifs aux permutations des n nombres, et par Pn le nombre des permutations. On en conclut :

Dn,;,= {n-l-l)(n+ 2j....(n + p)D„4-^ [pn + ^^^^^]p«+p;

et de là, en faisant n=: 1, et changeant ensuite p-f 1 en n, on tire la formule demandée.

XIL Trouver la somme des carrés des coefficients du binôme.

Cette somme est le coefficient de a"*x"*, dans le développement de (.T + a)^'".

XIIL Cette somme peut être représentée par les deux formules :

prouver que ces formules sont équivalentes. Application de la méthode du n" 65 ; ou vérification directe. XIV. Prouver que si, dans la somme des n fractions g__ l—x , {]~x){a — x) , , i[ — x){a — x){a^ — x). ..(gv-^ — x)

a ^ —a '' on fait x^^a**, cette somme devient égale à n.

Application de la méthode du n" 65.

1 -f — 1 , lorsque m croit indéfiniment. Cette limite est C. Former le série qui la représente. XVL Prouver que la série

dans laquelle ;s esi un nombre entier, ainsi que les exposants «i, «2,... a«,

une limite incommensurable, lorsque les différences oi— a», aa— «aa, ...otm+i— ^«, vont toujours en augmentant.

On suit une marche analogue à celle qui a servi pour prouver que e est incommensurable.

XVII. Trouver la somme des cubes des n premiers nombres entiers. On trouve (60) : S3 — ^ ^ , ou Sa=S,^

XVIII. Si l'on nomme S« la somme des m™" puissances des n premiers nombros naturels, prouver que S« est compris entre -r— — e — — -, m désignant un nombre entier quelconque.

On applique la formule fl6], (n° 60).