CHAPITRE III

COMPLÉMERIT DE LA TDÉOIVIE DES L0GAI\ITH»1ES.

§ I. Des exposants incommensurables.

66. Exposants incommensurables. Nous avons expliqué, dans la première partie (3îi0), comment on définit un nombre incommensurable, en disant quels sont les nombres commensurables plus petits, et quels sont les nombres commensurables plus grands que lui. Nous avons dit aussi (581 et suiv.) comment on doit entendre les opérations relatives à ces sortes de nombres.

Si l'on considère l'expression a^, dans laquelle x a une valeur commensurable, cette expression a été déiinie (I, lOo), et ne

Yïl

présente aucune obscurité ; car, en supposant x égal à. —, m et

n étant entiers, on a :

Nous supposerons toujo urs que a soit positif, et nous ne considérerons que les valeurs réelles et positives du radical ; il n*y a donc là ni difficulté ni ambiguïté. Si a; a une valeur négative ( — m), a" est défini (I, 88) par l'équation

Il nous reste donc à définir a% lorque x est un nombre incommensurable, positif ou négatif. On doit, dans ce cas, adopter la définition suivante :

a*' est la limite vers laquelle tendent les puissances de a, dont l'exposant commensurable s'approche de plus en plus de x.

Cette définition est très-simple, mais elle exige quelques développements. On pourrait, en efTet, se demander si la limite est bien déterminée; et si, quelle que soit la série des exposants commensurables (pii s'approcbent indéfiniment de a;, la limite

des puissances de a est toujours la même. Pour le démontrer, il faut établir quelques propositions.

(»7. Théorème 1. Toutes les puissances commensurables d'un no7nbre positif sont positives. Cela résulte de ce que, comme nous l'avons dit, nous ne considérons que les valeurs positives des ladicaux.

68. Théorème II. Toutes les puissances positives d'un nombre plus grand que Vunitè sont elles-mêmes plus grandes que l'unité, et toutes les puissances négatives sont moindres que l'unité.

Le contraire a lieu pour les puissances d'un nombre moindre que l'unité.

Soit, en effet, a un nombre plus grand que l'unité, et soit a" une puissance positive de a; on a, par définition :

or, a étant plus grand que l'unité, il en est évidemment de môme de la puissance entière a»", et par suite de y < "*•

Les puissances positives de a étant plus grandes » ne l'unité, l'égalité

montre que les puissances négatives, qui sont leurs inverses, sont moindres que l'unité.

Enfin, si Ton suppose à a une valeur moindre que l'unité,

on peut le représenter -,, a' étant plus grand que l'unilé; on

aura alors :

et il est évident que les valeurs de x, qui rendent a'^ plus grand que l'unilé, rendent a' plus petit, et réciproquement.

69. Théorème III. Si x reçoit des valeurs commensurahles croissantes, l'expression a*^ varie toujours dans le même sens; elle aug^

mente, si a est plus grand que l'unité; elle diminue, dam le cas contraire.

Soient, en effet, p et q deux valeurs commensnrables, positives ou négatives, attribuées successivement à a?; on a (1, 91) :

Or (q—p) est positif, puisque, par hypothèse, q est plus grand que p. Si donc a est plus grand que l'unité, il sera de même de a'^-p; et, par suite, on aura a'>aP. Si, au contraire, a est moindre que l'unité, il en sera de môme de a«-^; et Ton aura a'^<^a^. Donc a* augmente, dans le premier cas, quand x passe de la valeur p à la valeur ^ ; et il diminue dans le second.

70. Théorème IV. O71 peut, dans l'expression a"^, donner au nombre commensurable x un accroissement assez petit pour que Ql" varie aussi peu qu'on le voudra.

Soit m une valeur commensurable quelconque de x ; je dis que l'on peut augmenter m d'une quantité a assez petite pour que la différence (a"»^* — a*") soit aussi petite qu'on le voudra.

On a: a"*-+-* = a"'Xft%

et, par suite, «"»+«— a'"^ a*" (a*— l).

Or a"* est un nombre indépendant de a; il suffit donc de prouver que {a*--l) peut être rendu aussi petit qu'on le voudra, pour des valeurs suffisamment petites de a.

Supposons d'abord a plus grand que l'unité. Quelle que soit la valeur positive de a, a* sera toujours (68) plus grand que l'unité. Pour montrer qu'il en approche autant qu'on veut, il suffit de faire voir qu'il peut devenir plus petit qu'un nombre quelconque (1 -{- s) supérieur à l'unité, et que, quelque soit e, on peut choisir a, de manière que l'on ait,

Posons, en effet, «=7:, les valeurs indéfiniment décroissantes

de a correspondant aux valeurs indéfiniment croissantes de k ; l'inégalilé précédente devient :

ou, ce qui revient au même :

Or, les puissances entières de (1 + £) forment une progression par quotient croissante, dont les termes (I, 561) peuvent surpasser toute limite. La dernière inégalité est donc toujours possible; et, par suite, la proposition est démontrée, dans le cas de a>l.

Si a est moindre que 1 , on le repréeente par —, , a' étant plus grand que l'unité; a* sera alors égal à -t^î or, a'" différant, d'à-

près ce qui précède, aussi peu que Ton voudra, de l'unité, il en sera évidemment de même de a*.

71. DÉFINITION RIGOUREUSE DE a*. Lcs théorèmcs qui précèdent sont indispensables pour donner de a' une définition parfaitement rigoureuse, dans le cas où x est incommensurable. Chacun d'eux forme d'ailleurs une proposition qu'il serait indispensable de connaître , quand bien même on ne s'astreindrait pas, comme nous l'avons fait, à ne laisser subsister aucune difficulté sur ce point important.

Nous dirons : a* représente ^ pour une valeur incommensurable h, attribuée à x, un nombre compris entre les valeurs de a"^, qui correspondent à des exposants commensurables moindres que h , et celles qui correspondent à des exposants commensurables plus grands que h. Cette définition, analogue à celle que nous donnons, en arithmétique, pour les racines carrées et cubiques, et, en ali;èbre élémentaire, pour les logarithmes, assigne à a'' une valeur unique et déterminée.

Si l'on suppose, en effet, pour fixer les idées, que les valcui's de a" représentent des longueurs portées, sur une ligne droite, à partir d'une certaine origine, les extrémités de celles qui correspondent à des valeurs de x moindres que h occuperont une

certaine région de la droite; les extrémités de celles qui correspondent aux valeurs de x plus grandes que h en occuperont une autre; et il résulte, des théorèmes précédents j que ces régions sont entièrement séparées (G^J), et qu'il ne peut exister entre elles aucun intervalle d'étendue Unie (70), mais un simple point de démarcation, La distance, à laquelle ce point se trouve de l'origine , mesure a'.

§11. L'expression a'' peut prenlre toutes les valeurs positives, lorsque a est un nombre positif, plus grand ou plus petit que l'unité.

7S1. Continuité de la fonction a''. Nous venons de voir (70), que si, le nombre a étant donné, Texposant a? reçoit des accroissements suffisamment petits, l'expression a'' peut varier aussi peu qu'on le voudra. On dit, d'après cela, que cette expression est une fonction continue de x; et le mot continue exprime qu'elle ne peut passer brusquement d'une valeur à une autre , sans être susceptible d'acquérir les valeurs intermédiaires.

75. L'expression a^ peut prendre toutes les valeurs positives. Il résulte de la continuité de l'expression a^, que, a étant positif j et X variant de — oo à + oo , cette expression peut prendre toutes les valeurs positives. Pour le démontrer, nous distinguerons deux cas.

1° a est plus grand que Vunité. Les puissances entières et positives de a forment une progression croissante; et, par suite (1 , 501 ), il existe toujours un exposant assez grand pour que «* dépasse toute grandeur assignée d'avance. D'ailleurs, pour a;=0, a* devient l'unité; et, par conséquent, la fonction considérée, pouvant être égale à l'unité et à un nombre aussi grand que l'on voudra, peut acquérir, en vertu de la continuité, toutes les valeurs intermédiaires. On voit donc que, x variant de 0 à -f- oo, a' varie de 1 à -f oo, et prend toutes les valeurs plus grandes que Tunité.

Si l'on donne à x des valeurs négatives, en posant, par exemple, a?= — w, on aura :

et, m variant de 0 à + co, le dénominateur du second membre prend toutes les valeurs possibles plus grandes que l'unité; et, par suite, la fraction prendra toutes les valeurs moindres que 1. On voit donc que, a; variant de — oo à 0, a* varie de 0 à 1.

Il est clair, d'ailleurs, que a" ne peut pas prendre deux fois la même valeur; car si Ton avait, par exemple :

on en conclurait :

1 = — = ft^'-«'*

or, la puissance zéro d'un nombre plus grand que 1 est évidemment la seule qui soit égale à l'unité; et l'on devrait avoir :

2« a est plus petit que l'unité. Posons a = -; a' sera plus grand que l'unité. On aura :

Or, d'après ce qui précède, x variant de 0 à +oo, a" prendra toutes les valeurs possibles supérieures à l'unité; donc a" prendia évidemment toutes celles qui sont moindres. Puis, x variant de 0 à — 00, a" prendra toutes les valeurs moindres que l'unité ; et, par suite, a'' prendra évidemment toutes celles qui sont plus glandes que l'unité. En sorte que, dans ce cas encore, a* peut prendre toutes les valeurs positives.

§ III. Propriétés générales des logarithmes.

74. La définition, que nous avons adoptée (I, 572), permet de démontrer les propriétés essentielles des logarithmes; mais, pour leur étude plus approfondie, il est convenable de prendre un autre point de départ; et nous adopterons une définition nouvelle.