DÉFINITION DES LOGARITHMES. Lorsqu'oD a la relation
on dit que x est le logarithme du nombre b, dans le système dont la base est a; et on l'écrit ainsi :
x=\ogb.
Tout nombre positif a un logarithme, dans le système dont la base est a, et n'en a qu'un seul ; car on a vu (75) que, quand x croît par degrés continus de — oo à +°°» ^' passe par toutes les valeurs positives, et ne passe qu'une fois par chacune. Les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes réels.
L'ensemble des logarithmes des différents nombres, correspondant à une même base a, forme ce que l'on nomme un système de logarithmes. Les logarithmes d'un même système Jouissent de propriétés fort importantes que nous allons d'abord démontrer. ÎS'ous supposons toujours la base positive.
76. Théorème I. Le logarithme du prodidt de deux nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres.
Soient, en effet, x^i y les logarithmes des nombres 6 et c; on a (7o) :
a* = 6 , aï' = c ; /
et, en muItipUant ces deux équations membre à membre ;
a'^^y^bc;
donc {x -f y) est le logarithme de bc ; et l'on a :
log5c=log6-f-logc.
77. Théorème II. Le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence des logarithmes de ces nombres.
Soient, en effet, xQiy les logarithmes de deux nombres b et c,
on a (7d) :
-^t, en divisant ces deux cqnalions membre à membre .
donc {x — y) est le logarithme de -; et Ton a :
log - == lt)g b — log c.
78. Théorème III. Le logarithme de la puissance n""" d'un nombre est égal, quel que soit n {entier ou fractionnaire , positif ou négatif) , au produit de n pa?^ le logarithme de ce nombre.
Soit X le logarithme de & ; on a :
d'où , en élevant lés deux membres à la puissance n :
donc nx est le logarithme de 6" ; et l'on a :
logb'^^nlogb.
Ce lliéorèrae comprend évidemment le théorème IV (1,392) relatif au logarithme d'une racine.
79. Théorème IV. I>ans un système quelconque de logarithmes, Vunité a pour logarithme zéro, et la hase du système a pour loga~ rithme runité.
On a , en effet , quel que soit a ,
80. Théorème V. Lorsque la base d\tn système est plus grande que Vunité, les nombres plus grands que runité ont des logarithmes pcsitifs, et les nombres moindres que Vunité ont des logarithmes négatifs. Le contraire a lieu, lorsque la base est moindre que Vunité,
On a vu , en effet (68) , que les puissances positives d*un nom-
bre, plus grand que l'unité, sont plus grandes que l'unité, et ses puissances négatives sont moindres que l'unité. Le contraire a lieu pour les puissances des nombres moindres que l'unité. Si donc a est plus grand que l'unité, l'équation
exige que a?, c'est-à-dire logô, soit positif, si h est plus granâ que l'unité, et négatif, dans le cas contraire. Si, au contraire, a est moindre que l'unité, l'équation
exige que x, c'est-à-dire log 5, soit négatif, si h est plus grand que l'unité , et positif, dans le cas contraire.
81. Remarque. Les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes; car les puissances, positives ou négatives, d'une base positive, sont toutes positives.
g IV. Identité des logarithmes algébriques et arithmétiques.
82. Remarque. Il est essentiel de démontrer que les logarithmes, tels que nous les avons définis, ne diflerent pas de ceux que l'on considère en arithmétique, et qui naissent de la considération de deux progressions.
85. Les logarithmes algébriques rentrent dans les systèmes CONSIDÉRÉS EN ARITHMÉTIQUE- Si l'ou considèrc, en effet, des nombres en progression par quotient, commençant par l'unité :
TV i : ^ : 9^ : 5^ : ç* : ç^ : .... g" : ç**"*"* ,
et que l'on nomme x le logarithme de q, les logarithmes des différents termes de celle progression seront (78) :
0, X, Sa?, 307, ...., nXj {n-\-\)x\
^m%\ quand des nombres sont en progression par quotient, commençant par Vunilè ^ leurs logarithmes {76) forment une progression arithmétique commençant par 0.
Si maintenant on insère un nombre k de moyens entre les
termes consécutifs des deux progressions, on dit, en arithmétique, que les termes introduits par là y clans la progression par différence, sont les logarithmes des termes correspondants j dans la progression par quotient. Or nous allons voir que les conséquences de celle définition sont d'accord avec celle que nous donnons e algèbre (73).
Si, en effet, nous insérons k moyens entre les termes g**, ç"+*, de la progression par quotient, et k moyens entre les termes nxj (n+ l)ic, de la progression par différence, les raisons des progressions formées par ces moyens seront
k+l' et le p*"* moyen sera, dans la progression par quotient,
et dans la progression par différence,
Mais on a : g" X CV^/ = 5""^*?-. ?
et, puisque x est, par hypothèse, le logarithme de g , le second de ces nombres est bien (78) le logarithme du premier.
Ainsi, lorsqu'on insère un rnême nombre de moyens dans les deux phgressions, les termes introduits dans la progression par différence sont les logarithmes (7o) des termes correspondants de la progression par quotient.
84. RÉCIPROQUE. Nous venons de voir qu'un système de logarithmes, tel que nous l'avons défini (7o), peut toujours résulter de la considération de deux progressions convenablement choisies, et rentre ainsi dans les systèmes considérés en arithmétique. On peut faire voir aussi que le système de logarithmes ^
défini par deux progressions quelconques, satisfait toujours à la définition donnée (7o).
Soit, en effet, le système défini par les deux progressions : 1, g, g',.... g^....
0, B, 2o, nS,....
Posons 9'* = ?, nB = y,
Y étant le logarithme de p; on tire de la seconde de ces équations :
et, en remettant cette valeur dans la première,
9^=p, ou (À =p
Y est donc l'exposant de la puissance, à laquelle il faut élever la
base fixe go, pour reproduire le nombre p; y est donc le logarithme de p pris, d'après notre nouvelle définition, dans le
système dont la base est g5.
g V. Des divers systèmes de logarithmes.
85. Comment on passe d'un système a un autre. Le nombre a, dont les puissances servent à former tous les nombres, se nomme la base du système de logarithmes que l'on considère. Si l'on change de base, tous les logarill.mes changent; mais il est facile de voir qu'i/5 conservent des valeurs proportionnelles, et se multiplient tous par un même facteur, que Von nomme module du nouveau système par rapport au premier.
Soient a et a' deux bases quelconques, x et x' les logarithmes d'un même nombre h dans les deux systèmes, de sorte que l'on ait :
0a WVRE I.
Prenons les logarithmes des deux membres de la première équation, dans le système dont la base est a' ; nous aurons :
[3] xla-a==la'b,
le signe L désignant le logarithme d'un nombre dans le système dont la base est a . Or, si on se rappelle que x est le logarithme de b dans le système dont la base est a, l'équation [3] prouve que les deux logarithmes du nombre 6, dans les systèmes dont les bases sont a' et a, ont pour rapport le nombre constant la'a.
On aurait pu, également, prendre les logarithmes des deux membres de l'équation [2], en opérant cette fois dans le système dont la base est a; on aurait eu alors :
x'laa'=lab.
Donc le rapport des deux logarithmes du nombre b, pris, respectivement, dans les systèmes dont les bases sont a' et a, est
-i. Nous avions trouvé, plus haut, que ce même rapport est
lad
la4i. Pour que ces deux résultats coïncident, il faut que l'on ait
Or, cette égalité est évidente ; si l'on pose, en effet :
ka' = y,
on a, par définition, a^ = «',
Remettant, dans la seconde équation, la valeur de a' fournie par
la première, il vient :
{ayy = ay' = a.
Donc on doit avoir i yz=l>
8G. Logarithmes népériens. Les logarithmes ont été découverts, au commencement du dix-septième siècle, par J. Néper,
baron écossais. La base de son système est le nombre incommensurable e, que nous avons défini (27). Ces logarithmes se nomment logarithmes népériens, et on les désigne par la lettre L. Callet les a inscrits, dans ses tables, sous le nom de logarithmes hyperboliques. Ce sont eux qui se présentent le plus naturellement dans l'analyse mathématique.
Considérons les deux progressions :
