P . 2p . sp mp

a et p étant excessivement petits, afin que les termes croissent très-lentement, et que l'on puisse regarder tous les nombres comme faisant partie de la progression par quotient. On peut définir le système de ^logarithmes, en donnant la limite vers laquelle tend le rapport -, quand a et p tendent simultanément

vers zéro. Néper supposa cette limite égale à 1. Dans cette hypothèse, les deux progressions sont :

vO. a", 2a. 3a ma.

Si la base est (1 + «)*"> son logarithme ma, est égal à l'unité, par suite a = —, et la base devient ( 1 H — j .Siatendverszéro,

m croît sans limite, et l'expression (l-\ — j converge (S3) vers

le nombre e, base du système népérien.

87. Logarithmes vulgaires. Les logarithmes népériens ne se prêtent pas commodément aux calculs numériques, parce que la base est incommensurable. Aussi, quelques années après la publication de Néper, on construisit une nouvelle table de logarithmes, dits logarithmes vulgaires, dont la base est 10. Ce sont ces logarithmes, dont nous avons, dans la première partie, expliqué les usages et développé les applications. On les dé- • signe par le signe log.

Si Ton appelle xety les logarithmes d'un même nombre dans le système népérien et dans le système vulgaire, on a :

d'où, prenant les logarithmes dans le premier système, on tire : x=yL.lO, ou y=YJô^- *

Ainsi, pour obtenir les logarithmes des nombres dans le système vulgaire, on multiplie les logarithmes népériens des mêmes nombres par l'inverse du logarithme népérien de la nouvelle base. C'est ce

facteur 7-— 5 que l'on nomme spécialement module du système

vulgaire. En le désignant par la lettre M, on a :

Si l'on avait pris les logarithmes des deux nombres dans le système vulgaire, on eût eu :

a?loge=i/.

Donc M=log.c.