VI. Résolution des équations exponentielles

89. DÉFINITION. On ai^^eWe équation exponentielle une équation de la forme

dans laquelle aeib sont deux nouibres positifs donnés. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de x, pour laquelle elle est satisfaite.

90. RÉSOLUTION DE l'équation »*= = b. Pour trouver cette valeur de X, il suffit de prendre les logarithmes des deux membres de l'équation. On aura ainsi :

xlog a = \ogb, 102-5

et, par suite, x

lo^a

La base du système, dans lequel les logarithmes sont calculés, est arbitraire. Cela n'a, d'ailleurs, aucune influence sur le résultat : car on a vu (85), qu'en passant d'un système à un autre,

fO LIVRÉ I.

on doit multiplier totis les logarithmes par un même nombre; et, par suite, le rapport p^ n'est pas. changé.

91. RÉSOLUTION DE l'équation a''^ = c. On peut résoudre, par les mêmes procédés, Téqualion a^'' = c, dans laquelle a, b, c, sont des nombres positifs donnés. Car, en prenant les logarithmes des deux membres, on a :

loga

Pour que la solution existe, il faut que log a et log c soient de même signe : on peut alors les supposer positifs; et prenant, une seconde fois, les logarithmes, on a :

loprloff^ — loo: loara

log 6

g VII. Remarques sur les questions d'intérôt*

92. Nous avons exposé complètement, dans la première partie, les applications de la théoriQ des logarithmes aux questions d'intérêts composés. Nous n'y reviendrons pas ici; et nous nous bornerons à la remarque suivante.

On a démontré, qu'une somme A, placée à intérêts composés, devient, après n années,

Les conventions, faites sur les exposants négatifs et fractionnaires, permettent, maintenant, de générahser cette formule.

Si n est fractionnaire et représenté par -, supposons que Von

étende le principe des intérêts composés aux fractions d'année; et

nommons x, ce que rapporte I franc, pendant - d'année.

1 franc rapportant x après - d'année, devient, au bout de ce

temps, (1 + x) ; et une somme quelconque, placée pendant le même temps, se mtillipliera par (1 4-ic). Si donc on place 1 franc

pendant - d'année, c'est-à-dire pendant une année entière, il

se multipliera q fois par (1 -\-x) ou par (1 +xY\ et, comme d'ailleurs il doit devenir 1 +^, on a :

{\+xY = \+r;

d'où Ton déduit : 1 +aj=(l +r)^.

Et il eiit évident que 1 franc, placé pendant - année, se mul-

ç tipliera par (1 + ^)^, c'est-à-dire par (1 + ^)S et que, par suite,

une somme quelconque A deviendra

ce qui est conforme au résultat énoncé.

2° Si n est négatif, nous envisagerons la question de la manière suivante :

Une somme vaut aujourd'hui A; elle est placée depuis un temps indéterminé : combien valait-elle, il y an années?

Si l'on désigne par X la valeur inconnue, cette somme, placée pendant n années, est devenue A; par suite, d'après ce qui précède :

A = X(l+rr,

d'où l'on déduit : X = A (1 +r}-~;

ce qui est encore conforme à la formule donnée plus haut.

RÉSUMÉ

66. Des exposants incommensurables. — 67, 68, 69, 70. Lemmes sur les puissances commensurables. — Définition rigoureuse de a*, quand ce est incommensurable. — 72. La fonction a' est continue. — 73. Lorsque X varie de — oo à -j-oo , a étant positif, a" prend toutes les valeurs positives, et ne prend chacune qu'une seule fois. — 74, 7o. Nouvelle définition des logarithmes. — 76. Logarithme d'un produit. — 77. Lo-

garilhme d'un quotient. — 78. Logarithme d'une puissance. — 79. Logarithme de 1, et logarithme de la base. — 80. Nombres qui ont des logarithmes positifs, et nombres qui ont des logarithmes négatifs. — 81 . Les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes. — 82 . Kemarque. — 85. Si des nombres sont en progression par quotient , leurs ogarithmes sont en progression par différence. Cas où l'on insère de nouveaux termes dans les progressions. — 84. Les logarithmes, définis dans la première partie, sont les mêmes que ceux qui résultent de la aéfinition nouvelle. — 8o. Gomment on peut passer d'un système à un autre. — 86. Logarithmes népériens : leur base. — 87. Logarithmes vulgaires; leur module. — 88. Logarithmes négatifs. — 89. Définition de l'équation exponentielle. — 90. Résolution de l'équation a'^=.b. —

91. Résolution de l'équation a'''^=:c. — 92. Généralisation des formules relatives aux questions d'intérêt.

EXERCICES

• Résoudre les équations :

Od trouve : x=^ i^" \ y= ^Êj '