VERIFICATION DES FORMULES D'ALGÈBRE

g L Conditions d'identité de deux polynômes.

95. Lemme. Lorsqu'un polynôme est ordonné par rapport aux puissances croissantes d'une variable x, on peut donner à cette variable une valeur, positive ou négative, assez petite numériquement, pour que, pour cette valeur et pour toutes les valeurs inférieures, le polynôme prenne et conserve le signe de son premier terme.

Soit, en effet, le polynôme :

Aa?"* + BiC^ + Ca;P +.... + HrrS

dans lequel les exposants m, n,p, ..., t, vont en augmentant. On peut l'écrire sous la forme :

Or, si Ton donne à x une valeur très-petite, chacun des termes, qui suivent l'unité dans la parenthèse, prend une valeur trèspetite, puisque les exposants sont positifs; et, comme leur nombre est fini, la quantité, renfermée entre parenthèses, diffère très-peu de l'unité. Le polynôme prend donc une valeur de même signe que Ao?*" ; et il conserve ce signe pour toutes les valeurs inférieures de x.

94. Théorème I. Deux polynômes, rationnels et entiers en x, ne peuvent être égaux, quelle que soit la valeur attribuée à x, que s'ils sont composés identiquement des mêmes termes.

Soient, en effet, les deux polynômes , ordonnés par rapport à X, [1] Vx'^+V,x"'-' + V,x^-' + . ..i-i\^,x+V„,

[2] Qa;"+Q,a;"-^ + Q»a?"-^+.... + Qn-ia; + Q».

Si les deux polynômes [l] et [2] doivent être égaux, quel que

soit Xf ils le seront , en particulier , par x= 0 ; et par conséquent, on doit avoir P,„ = Q„. En supprimant ces deux termes communs, les deux restes seront encore égaux; et leur différence devra être nulle, quel que soit x. Or cette différence, ordonnée par rapport aux puissances croissantes de a;, a pour premier terme (P,n-^ — Qn~i)x. Si ce terme n'était pas nul, on pourrait, d'après le lemme, prendre x assez petit, pour qu'il donnât son signe à la différence; celle-ci ne serait donc pas nulle pour cette valeur de x. Donc Pm i=Qn i. En supprimant les deux termes égaux du premier degré , on verra de même, que la différence commencera par un terme du second degré (Pm-i — On-s)^'? qui devra être nul à son tour. Et, en continuant, on concluera que les termes doivent être, dans les deux polynômes, les mêmes et en même nombre.

95. Théorème IL Deux polynômes entiers et rationnels, qui renferment un nombre quelconque de lettres arbitraires , et indépendantes les unes des autres, ne peuvent être égaux, que s'ils sont composés identiquement des mêmes termes.

Pour établir ce théorème, il suffit de montrer que, si la proposition est vraie pour deux polynômes renfermant n lettres arbitraires, elle le sera aussi pour deux polynômes qui en contiendraient (n + 1). Considérons , pour cela, deux polynômes renfermant (n-\-l) lettres, a;, y, z, w, v,,...p; ordonnons-les l'un et l'autre, par rapport à l'une de ces lettres, x par exemple ; ils prendront la forme :

[1} Aoa;- + A^o;— * + A,x^-'+ .... +A„,

[2] B,x- +B,x^-'+B,x^^+....+Br,;

Ao, Al, A2,....Am, Bo, Bi, B2,....B„, contenant les n variables, y, z, Uy v,....p. Les polynômes [1] et [2] étant égaux, quel que soit Xj on doit avoir (94) :

[3] w=n, Aû = Bo, Ai = Bij A,=B„....A„=Bn.

Or le théorème est admis pour le cas de n variables; donc les égalités [4] exigent que les polynômes Ao et Bg, Ai et Bi,.... Am et B„ soient respectivement composés des mêmes termes ; et

que, par conséquent, les polynômes [1] et [2] soient idenliquement les mêmes.

§ IL Vérification de l'égalité de deux expressions algébriques.

96. Cas où toutes les quantités arbitraires sont indépendantes LES UNES DES AUTRES. D'après le théorème précédent, pour vérifier une t^quation entre quantités arbitraires, il suffit d'en faire disparaître les radicaux et les dénominateurs, et de constater que les deux membres sont composés identiquement des mêmes termes.

Si cela n'a pas lieu , on peut affirmer que l'égalité proposée n'est pas exacte pour toutes les valeurs des lettres qu'elle renferme.

97. Cas où les quantités arbitraires ne sont pas toutes INDÉPENDANTES. Lopsquc l'égalité n'a lieu qu'en vertu de certaines relations entre les lettres qui y sont contenues , il faut, pour la vérifier, exprimer, au moyen de ces relations, un certain nombre de lettres en fonction de celles que l'on peut considérer comme arbitraires, et substituer ces valeurs dans l'équation proposée. Après la substitution, l'équation rentrera dans le cas précédent.

§ III. Application à quelques problèmes.