VII. Prouver que les deux séries
aua + ahia^ -\- ahia^ +....+ a"Wa" + . . . . , sont convergentes et divergentes ensemble (Règle donnée par Cauchy).
Ce tliéorè.r.e est une généialisation du théorème III (16), et se démontre par un raisonnement analogue.
VIJI. Prouver qu'une série
W0+W1+W2+.... +Wn+ ....
est convergente, lorsqu'à partir d'une certaine limite, le rapport de log —
au logarithme de log n tend vers une limite plus grande que 1 , et qu'elle est divergente, quand le rapport tend vers une limite p'.us petite que 1.
IX. Si, dans une série, le rapport d'un terme au précédent est représenté par la formule ]
dans laquelle p est entier et positif, et A, B, G,.... a, b, c,.... sont des
nombres constants donnés : 1° les termes croissent sans limite, si A--a>Oj et décroissent indéfiniment, si A — a <0.
On compare la série à une autre, dont le terme général v»=^-^, h étant
un nombre positif convenablement choisi.
2° Si A— a=0, les termes croissent, sans dépasser une certaine limite, si B — &>0; ils diminuent, sans atteindre zéro, si B— &<0. Dans ce cas, la convergence est impossible.
On compare la série à une autre , dont le terme général est r» = ( ] w«,
h étant un nombre positif convenablement choisi : les termes de celle-ci sont plus grands que ceux de la première, et vont en diminuant, quand B — b >0.
3° Si A — a < 0, mais A — a-}- 1«^ 0, la série est divergente.
On compare la série à une série divergente, dont le terme général est Vn=Un{n — h) , h étant convenablement choisi.
4° Si A — a+ 1 ^.O, la série est convergente.
* ht'
On prouve que, dans ce cas, on a-^<^~ ~ , h étant positif et conve-
Un n
nablement choisi; que, par suite, Wm+i+ WM+2+Mnt?+ • ••• est plus petit que
n—h~l {n-h — l) jn — h) (n~h^l) jn—h) (ti-h + l) ï
On prouve enfin, que les (p + 2) premiers termes de la série, entre parenthèses, ont pour somme
n— 1 jn — h—l) (n — /t) .... jn—h+p) h hn{n+l)....{n+p) '
n — 1 que cette série est convergente , et a pour limite -r--, ^quand p croît indéfini-
niment.
Il résulte de là que, pour qu'une série soit convergente, lorsque le rapport
-^ peut se mettre sous la forme d'une fraction rationnelle (a), il faut et il
Un
suffit que (A — a + 1) soit inférieur à zéro : il n'y a pas de cas douteux. Cette règle a été donnée par Gaus.
